Théorème des valeurs intermédiaires

Dans le dossier «Théorème des valeurs intermédiaires»

Théorème des valeurs intermédiaires

Les exercices

$\bullet$Exercice 308 *
$\bullet$Exercice 717 *
$\bullet$Un théorème classique de point fixe *
$\bullet$Exercice 418 *
$\bullet$Exercice 642 **
$\bullet$Exercice 251 **
$\bullet$Exercice 835 **
$\bullet$Exercice 474 **
$\bullet$Exercice 653 **
$\bullet$Exercice 162 ***
$\bullet$Exercice 657 ***
$\bullet$Exercice 959 ***
$\bullet$Exercice 60 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 308 *

13 janvier 2021 20:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) une fonction polynomiale de degré impair. Montrer que \(f\) possède au moins une racine réelle.

Exercice 717 *

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue telle que \(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +1}\). Prouver que \(f\) s’annule

Un théorème classique de point fixe *

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:[0,1] \rightarrow [0,1]\) continue. Prouver que \(f\) possède au moins un point fixe.

Exercice 418 *

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que les seules applications continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{Z}\) sont les applications constantes.

Exercice 642 **

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un méridien terrestre et l’on suppose que la température au sol varie continument sur ce méridien. Montrez l’existence de deux points antipodaux sur ce méridien où la température est la même.

Exercice 251 **

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continue et décroissante. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe.

Exercice 835 **

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}\) continue sur le segment \([0,1]\). Soient deux réels \(p,q >0\). Montrer qu’il existe \(x_0\in [0,1]\) tel que \[pf(0)+qf(1)=(p+q)f(x_0).\]

Exercice 474 **

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et croissante. On suppose qu’il existe un réel \(a>0\) tel que \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2}, \quad\left| f(x)-f(y) \right| \geqslant a\left| x-y \right|\] Montrer que la fonction \(f\) est bijective.

Exercice 653 **

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:[0,1]\mapsto [0,1]\) une fonction continue.

Montrer que \(\forall n\in \mathbb{N}^{*}\), il existe \(a_n\in [0,1]\) tel que \(f(a_n)=a_n^n\) ;
On suppose maintenant que \(f\) est décroissante strictement. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), le réel \(a_n\in [0,1]\) trouvé dans la question précédente est unique à vérifier \(f(a_n)=a_n^n\) et étudier la suite \((a_n)\).

Exercice 162 ***

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux fonctions continues \(f, g: [0, 1] \mapsto [0, 1]\). On suppose que \(f\circ g = g \circ f\). On note \(K\) l’ensemble des points fixes de \(f\).

Montrer que \(K\) est stable par \(g\).
Montrer que \(K\) possède un plus petit élément \(x_0\).
On suppose que \(\forall x \in K\), \(g(x) \geqslant x\). Montrer que la suite définie par \(x_0\) et \(\forall n \in \mathbb N\), \(x_{n+1} = g(x_n)\) converge vers un point fixe commun à \(f\) et \(g\).

Exercice 657 ***

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction continue, \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(x_1,\dots,x_n \in \mathbb{R}\). Montrer qu’il existe \(c\in \mathbb{R}\) tel que \[f(c)= \dfrac{f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n}\]

Résoudre d’abord l’exercice pour \(n=2\) en faisant un dessin. Passer ensuite au cas général.

Exercice 959 ***

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une fonction \(f : [0, +\infty[\mapsto \mathbb{R}\) continue telle que \(\forall x \geqslant 0\), \(f(x) \geqslant 0\). On suppose que \(\dfrac{f(x)}{x} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\) avec \(0 < l < 1\). Montrez que la fonction \(f\) admet un point fixe.

Exercice 60 ***

13 janvier 2021 20:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une fonction contractante \(f\) sur \(\mathbb{R}\) : \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2},~ \bigl|f(x) - f(y) \bigr| \leqslant k \lvert x-y \rvert\] avec \(0 \leqslant k < 1\).

Montrer que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \[\lvert f(x) \rvert \leqslant\lvert f(0) \rvert + k\lvert x \rvert\]
On considère la fonction \[g : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(x) - x \end{array} \right.\] Montrer que \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} -\infty\) et que \(g(x)\xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} +\infty\).
Montrer que \(f\) possède un unique point fixe : \[\exists ! x_0 \in \mathbb{R} ~ \textrm{ tq } f(x_0) = x_0\]

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