Continuité des fonctions numériques

Dans le dossier «Continuité des fonctions numériques»

Continuité des fonctions numériques

Les exercices

$\bullet$Exercice 514 *
$\bullet$Exercice 358 *
$\bullet$Exercice 855 *
$\bullet$Exercice 834 *
$\bullet$Exercice 651 *
$\bullet$Exercice 786 *
$\bullet$Exercice 620 **
$\bullet$Exercice 701 ***
$\bullet$Exercice 80 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 514 *

13 janvier 2021 10:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer sur quel(s) intervalle(s) les fonctions suivantes sont continues :

\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases}\dfrac{e^x-1}{x} &\textrm{ si } x\neq 0\\ 1 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{x\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x -1} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 2 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x\ln x &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 1 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 0 &\textrm{ si } x=0\end{cases} \end{array} \right.\)

Exercice 358 *

13 janvier 2021 10:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer sur quel(s) intervalle(s) les fonctions suivantes sont continues :

\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} &\textrm{ si } x\neq 1 \\ n+1 &\textrm{ si } x=1 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 0 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 0 &\textrm{ si } x=0\end{cases} \end{array} \right.\)
\(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{1-x}{1-x^2} &\textrm{ si } x\neq 1 \quad \textrm{ et} \quad x\neq -1 \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } x=1 \\ 0 &\textrm{ si } x=-1 \end{cases} \end{array} \right.\)

Exercice 855 *

13 janvier 2021 10:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes :

Déterminer où elle est définie.
Déterminer là où elle est continue.
La prolonger par continuité, quand c’est possible, là où elle n’est pas définie.

\(f\left(x\right)=\dfrac{\left(\sqrt{1-x^2}-1\right)\sin x}{\operatorname{arctan} x}\)
\(f\left(x\right)=\sqrt{x}\cos\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)-\dfrac{1}{1-x}\)
\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2\ln x}{\sin x}\)
\(f\left(x\right)= \dfrac{1}{\left(1-x\right)\mathop{\mathrm{sh}}x}-\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\)

Exercice 834 *

13 janvier 2021 10:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes :

Déterminer où elle est définie.
Déterminer là où elle est continue.
La prolonger par continuité, quand c’est possible, là où elle n’est pas définie.

\(f\left(x\right)=e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\)
\(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{argth}}x \sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\)
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right){\ln \left(x-1\right)}\)
\(f\left(x\right)= \operatorname{arctan} \ln\left(1+x\right)-\dfrac{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x -1}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\)

Exercice 651 *

13 janvier 2021 10:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacune des fonctions suivantes :

Déterminer où elle est définie.
Déterminer là où elle est continue.
La prolonger par continuité, quand c’est possible, là où elle n’est pas définie.

\(f\left(x\right)=\dfrac{\mathop{\mathrm{argsh}}x}{x-x^2}\)
\(f\left(x\right)=\dfrac{\operatorname{arcsin} x}{\mathop{\mathrm{argsh}}x}\)
\(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{argth}}x-\dfrac{1}{x-2}\)
\(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{\operatorname{arctan} \left(x^2-1\right)}}{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x-1\right)}\)

Exercice 786 *

13 janvier 2021 10:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) des applications:

\[f: x \mapsto E(x) + \sqrt{x-E(x)} \quad \quad \quad g:x \mapsto E(x) - \left(x-E(x)\right)^2\]

Aide: on distinguera les cas: \(a\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) et \(a\in \mathbb{Z}\).

Exercice 620 **

13 janvier 2021 10:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la fonction \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} 1 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \textrm{ si } x\not\in \mathbb{Q} \end{cases} \end{array} \right.\] Montrer que la fonction \(f\) est discontinue en tout point \(x_0\in \mathbb{R}\).

Exercice 80 ***

13 janvier 2021 10:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue en \(0\) telle que \(f(0)=0\) et \(\mbox{$\displaystyle \lim_{x\longrightarrow 0} $}\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}=0\). Montrer que \(\mbox{$\displaystyle \lim_{x\longrightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} $}=0\).

Une des hypothèses fait intervenir \(f(2x)\) et \(f(x)\). On cherche à obtenir un résultat sur \(f(x)\) seulement. Ecrire la définition de la limite: il existe \(\alpha >0\) tel que pour tout \(x\in [0,\alpha [\), …Remarquer que \(\dfrac{x}{2}\leqslant\alpha\) et donc \(-\varepsilon \dfrac{x}{2} \leqslant f(x)-f(\dfrac{x}{2}) \leqslant \varepsilon \dfrac{x}{2}\). Ecrire ce que l’on obtient avec \(\dfrac{x}{4}\)... \(\dfrac{x}{2^{p}}\). Si on additionne ces inégalités et on fait tendre \(p\) vers \(+\infty\), qu’obtient-on?

Exercice 701 ***

13 janvier 2021 10:32 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}\) une fonction bornée et continue sur \([0,1]\). On considère la fonction \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \sup_{t\in [0,x]}f(t) \end{array} \right.\]

Montrer que \(\varphi\) est croissante.
Soit \(x_0\in [0,1]\). Montrer que \(\varphi\) est continue en \(x_0\).

Pour la deuxième question, considérer \(\varepsilon>0\) et utiliser la continuité de \(f\) en \(x_0\). Il existe \(\alpha>0\) tel que si \(\left| t-x_0 \right| \leqslant\alpha\) alors \(\left| f(t)-f(x_0) \right| \leqslant \varepsilon\). Supposer que \(x_0\leqslant x \leqslant x+\alpha\) et montrer que \(\sup_{t\in [0,x]}f(t) \leqslant\sup_{t\in [0,x_0]}f(t) + \varepsilon\).

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