Comparaison des fonctions numériques

Dans le dossier «Comparaison des fonctions numériques»

Comparaison des fonctions numériques

Les exercices

$\bullet$Exercice 925 *
$\bullet$Exercice 779 *
$\bullet$Exercice 555 *
$\bullet$Exercice 675 *
$\bullet$Exercice 410 *
$\bullet$Exercice 702 *
$\bullet$Exercice 563 **
$\bullet$Exercice 309 *
$\bullet$Exercice 324 **
$\bullet$Exercice 423 **
$\bullet$Exercice 592 **
$\bullet$Exercice 549 **
$\bullet$Exercice 446 **
$\bullet$Exercice 970 **
$\bullet$Exercice 279 *
$\bullet$Exercice 696 **
$\bullet$Exercice 590 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 925 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point considéré:

\(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+ \tan x\right)}{\sqrt{\sin x}}\) en \(0^+\)
\(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2+2}}\) en \(+\infty\)
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos x}-\tan x\) en \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).
\(f(x)=\cos\left(\sin x\right)\) en \(0\).
\(f\left(x\right)=x^x-1\) en \(0^+\).
\(f\left(x\right)= \dfrac{\cos\left(\pi x\right)}{\sqrt{x^2-2x+1}}\) en \(1\).

Exercice 779 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point considéré:

\(f\left(x\right)=\dfrac{2x}{\left|x-2\right|}-\dfrac{x-1}{\left|x^2-4\right|}\) en \(2\).
\(f(x)=x^2\mathop{\mathrm{argsh}}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\) en \(+\infty\)
\(f\left(x\right)= \sqrt{\dfrac{x^5}{2x+5}}\) en \(+\infty\).
\(f\left(x\right)=\ln\left(\cos x\right)\) en \(x=0\)
\(f(x)=\ln\left(\sin x\right)\) en \(0^+\).
\(f\left(x\right)= \dfrac{\left(2+x\right)\ln\left(1+\sqrt x\right)}{\sin^2 x}\) en \(0^+\).

Exercice 555 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point considéré:

\(f(x)=\ln\left(\cos x\right)\) en \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}^-\)
\(f(x)=\ln\left(1+\sin x\right)\) en \(0\)
\(f(x)={\scriptstyle x\over\scriptstyle 1-\sin x} -x\) en \(0\).
\(f(x)=\sqrt{\ln\left(x+1\right)-\ln \left(x\right)}\) en \(+\infty\)
\(f(x)=\dfrac{x^3-2x^2-1}{2x^5+x^2} \ln\left(1+\sqrt x\right)\) en \(0^+\).
\(f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{1+\sin x}\right)\) en \(x=0\).

Exercice 675 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer lorsqu’elles existent les limites des fonctions suivantes en le nombre indiqué :

\(f\left(x\right) = \dfrac{\tan x - \sin 3x}{\ln \left(1+x\right)}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x - 1}{\operatorname{arcsin} ^2 x}\) en \(x=0\).
\(f\left(x\right)=\dfrac{2x+\sin 3x}{x\sin x}\) en \(x=0^+\).
\(f\left(x\right)=\dfrac{2\tan x+\mathop{\mathrm{sh}}5x}{\sin^3 x}\) en \(x=0\)
\(f\left(x\right) = \dfrac{\ln \left(x\right)}{\sqrt{x}-1}\) en \(x=1\).
\(f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{1+x}\right)-\dfrac{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\) en \(x=0\)

Exercice 410 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer lorsqu’elles existent les limites en le nombre indiqué des fonctions suivantes :

\(f\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{1+\ln\left(1+x\ln x\right)}-1}{\sin (x\ln x)}\) en \(x=0^+\).
\(f\left(x\right)=\left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle x}\right)^{x}\) en \(x=+\infty\) et pour \(a\in\mathbb{R}\).
\(f\left(x\right)=\left(1+\sin {\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\right)^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle\ln x}}\) en \(x=+\infty\)
\(f\left(x\right) = \dfrac{\operatorname{arctan} \left(x-1\right)}{x^2-1}-\dfrac{\sin\left(e^{\left(x-1\right)}-1\right)}{\ln x}\) en \(x=1\)
\(f\left(x\right)=\left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\operatorname{arcsin} ^2 x}}\) en \(x=0\)
\(f\left(x\right)=\dfrac{x^{{\scriptstyle x+1\over\scriptstyle x}}-x}{\ln\left(1+x^2\right)}\) en \(x=+\infty\)

Exercice 702 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer lorsqu’elles existent les limites en le nombre indiqué des fonctions suivantes :

\(f(x) =\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}\) en \(x=0\).
\(f(x) =\dfrac{\ln x}{x^2 - 1}\) en \(x=1\).
\(f\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(e^{x}\right)}{\tan \left(\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)}\) en \(x=-\infty\).
\(f\left(x\right)= \dfrac{\operatorname{arctan} x - \operatorname{arctan} a}{\log_a x -1}\) en \(x=a\in \mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\)
\(f(x) =\dfrac{\mathop{\mathrm{argsh}}x}{\ln x}\) en \(x=+\infty\)
\(f\left(x\right)= \left(\ln x - 1 \right)\left(\ln\left(x-e\right)\right)\) en \(x=e\)

Exercice 563 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver la limite lorsque \(x\rightarrow \pi^+\) de la fonction \[f(x) = \left( 1 + \cos x \right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin x}}\]

Exercice 309 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction \[f(x) = x^{\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2+1}\right) } - 1\]

Exercice 324 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction définie par \[f(x) = \ln\left( e^{x^2+1} - x^2\right) + \ln\left(x^2 - 1\right)\]

Exercice 423 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{\ln\left(x^2+1\right) - \ln\left(2x^2-1\right)}{ \ln\left(x^3+1\right) - \ln\left(x^3-1\right)}\]

Exercice 592 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow \pi\) de \[f(x)=e^{\sin x} + \cos x\]

Exercice 549 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow 1\) de la fonction \[f(x)=e^{x\ln(x^2)} - e^{\sin(\pi x)}\]

Exercice 446 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow 0^+\) de la fonction \[f(x)=\dfrac{(1+x)^{x^x}}{\sin(\pi x^x ) }\]

Exercice 279 *

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer la limite en \(+\infty\) de \[f\left(x\right)= \sqrt[3]{x^3+1} - (x+1)\]

Exercice 696 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(a\in \mathbb{R}\). Calculer la limite en \(+\infty\) de \[f\left(x\right)= \sqrt{x^2+2x-3} - ax\]

Exercice 590 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a,b >0\). Déterminer la limite en \(+\infty\) de \[f\left(x\right)= \left( a^x + b^x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\]

Exercice 970 **

13 janvier 2021 10:04 — Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron

Montrer que la fonction \[f(x)=\dfrac{x^x}{ \left\lfloor x \right\rfloor^{\left\lfloor x \right\rfloor}}\] n’admet pas de limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\).

On pourra pour cela introduire deux suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) de terme général \(u_n = n \textrm{ et } v_n = n+a_n\) avec \(\left(a_n\right)\) telle que : \(\forall n\geqslant 1\), \(0<a_n<1\) avec \(a_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\).

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Success message!