Forme algébrique - Forme trigonométrique

Dans le dossier «Forme algébrique - Forme trigonométrique»

Forme algébrique - Forme trigonométrique

Les exercices

$\bullet$Exercice 59 *
$\bullet$Exercice 968 *
$\bullet$Exercice 546 *
$\bullet$Exercice 108 **
$\bullet$Exercice 167 *
$\bullet$Exercice 885 *
$\bullet$\(\sum z_i+z_j\) *

Exercices dans ce dossier

Exercice 59 *

25 novembre 2020 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Donner l’écriture algébrique des nombres complexes suivants :

\(z_1=\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}-2i\right)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle i\over\scriptstyle 2}\right)\)
\(z_2=\left(1-2i\right)^2\)
\(z_3={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1+3i}\)
\(z_4={\scriptstyle 2-i\over\scriptstyle 1+i}\)
\(z_5=\left(2+i\right)^3\)
\(z_6=\left(1+i\right)^2-\left(2-i\right)^2\)

Exercice 968 *

25 novembre 2020 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

On donne les nombres complexes \[z_1=(\sqrt 6+ i\,\sqrt 2)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}+i\, {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 4}\right) \quad \textrm{ et} \quad z_2=\dfrac{-1+i\,\sqrt 3}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}}.\]

Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme algébrique \(a+i\,b\).
Déterminer le module puis un argument de \(z_1\), \(z_2\) et \(z_1z_2\).
Déterminer le module puis un argument de \(Z={\scriptstyle z_1\over\scriptstyle z_2}\), \(Z'=z_2^6\). Écrire \(Z\) et \(Z'\) sous forme algébrique.

Exercice 546 *

25 novembre 2020 09:20 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Déterminer le module et un argument de \(z={\left( \dfrac{1+i\sqrt{ 3}}{1-i}\right) }^{20}\).

Exercice 108 **

25 novembre 2020 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Soit \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\). Déterminer le module et un argument de : \(e^{i\theta}+1 \quad \textrm{ et} \quad e^{i\theta}-1\).
En déduire le module et un argument, pour \(\theta\in\left]-\pi,\pi\right[\), de : \[\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta+1}{\cos\theta+i\sin\theta-1}.\]

Exercice 167 *

25 novembre 2020 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

Trouver les entiers \(n\in \mathbb N\) tels que \(\bigl(\sqrt{3} + i\bigr)^n\) soit réel.

Exercice 885 *

25 novembre 2020 09:21 — Par Emmanuel Vieillard-Baron

On considère, pour \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb N\), le complexe \(z = \left[ 1 - \sin\theta + i\cos\theta\right] ^n\). Déterminer les réels \(\theta\) tels que \(\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 0\).

\(\sum z_i+z_j\) *

11 mars 2024 22:18 — Par Michel Quercia

Soient \(u,v \in \mathbb{C}\). Montrer que \(|u+v| + |u-v| \geq |u| + |v|\), et déterminer les cas d’égalité.
Soient \(z_{1},z_{2},z_{3} ,z_4 \in \mathbb{C}\). Montrer que \(\sum_{k=1}^4 |z_k| \leq \sum_{k=1}^3\sum_{l =k+1}^4 |z_k+z_l |\).

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