Etude de suites données par une relation de récurrence

Dans le dossier «Etude de suites données par une relation de récurrence»

Etude de suites données par une relation de récurrence

Les exercices

$\bullet$Exercice 562 **
$\bullet$Exercice 851 *
$\bullet$Exercice 576 *
$\bullet$Exercice 844 **
$\bullet$Exercice 678
$\bullet$Exercice 343 *
$\bullet$Exercice 612 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 562 **

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite définie par \(u_0\in \mathbb{R}\) et \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n^3 +6u_n}{3u_n^2 +2}\).

Exercice 851 *

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}= \dfrac{2u_n}{1+u_n^2}\]

Exercice 576 *

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(u_0\in[0,1]\). Étudiez la suite définie par la relation de récurrence \[\forall n\in\mathbb N, \ u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n(1-u_n)\]

Exercice 844 **

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(0< u_0< v_0\), et \(p>q>0\). On définit deux suites par : \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}=\dfrac{pu_n+qv_n}{p+q} \quad v_{n+1}=\dfrac{pv_n+qu_n}{p+q}\]

Montrez que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers la même limite.
Soit \(\varepsilon>0\). Pour quelles valeurs de \(n\) est-on sûr que \(\left| u_n-l\right| \leqslant \varepsilon\) ?

Exercice 678

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(u_0 > 0\) et \((u_n)\) la suite définie par : \[\forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}= \sqrt{\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k $}}\]

Trouver une relation de récurrence simple entre deux termes successifs \(u_{n+1}\) et \(u_n\) de la suite.
Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante
Montrer que la suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).

Exercice 343 *

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudiez la suite récurrente définie par \(u_0>0\) et \(\forall n\in \mathbb N\), \[u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\]

Exercice 612 ***

12 janvier 2021 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(a>0\). Étudiez la suite de terme général : \[u_n = \sqrt{ a+\sqrt{a+\dots + \sqrt{a}}}\]

Aidez-vous de l’exercice précédent.

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