Suites équivalentes

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Exercice

Formule de Stirling ***

12 janvier 2021 15:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Étudier les variations de la fonction \(f(x) = \left( x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\) pour \(x>0\).

  2. Étudier la fonction définie par \(g(x) = \left( x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) .\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12x(x+1)}\) pour \(x\geqslant 1\).
    (().
    On pourra, pour étudier le signe de la dérivée seconde, introduire \(t = (x+1).x\) )
  3. Démontrer que les deux suites \(u_{n}=\dfrac{n^{n+1/2}}{e^nn!}\) et \(v_{n}= u_{n}.\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right)\) sont adjacentes. On appelle \(\ell\) la limite commune.

  4. On pose \(w_{n}= \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{n}x \,\textrm dx\). Démontrer que la suite \((w_{n})_{n\in {\mathbb N}}\) est décroissante. Trouver une relation entre \(w_{n}\) et \(w_{n+2}\). Calculer \(w_{n}\). Démontrer que \(\forall n\in {\Bbb N}, \dfrac{(2.4. \ldots . 2n)^2}{(3.5. \ldots . (2n-1))^2(2n+1)}\leqslant\dfrac\pi2 \leqslant\dfrac{(2.4. \ldots . (2n-2))^22n}{(3.5. \ldots . (2n-1))^2}\) En déduire l’existence de \(L = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{2^{4n}(n!)^4}{n\left[ (2n)!\right]^2 }\), et calculer \(L\).

  5. Calculer \(\ell\).

  6. En déduire un encadrement de \(n!\) pour \(n\geqslant 1\)

  7. En déduire un équivalent simple \(z_{n}\) de \(n!\). Donner des valeurs approchées pour \(1000!\) et pour \(z_{1000}\)

  8. Démontrer que \(w_{n}\simeq w_{n+1}\).

  9. Calculer \((n+1).w_{n}.w_{n+1}\) pour \(n\in {\Bbb N}\).

  10. Donner un équivalent de \(w_{n}\).

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