Sommes géométriques

Dans le dossier «Sommes géométriques»

Sommes géométriques

Les exercices

$\bullet$Exercice 208 *
$\bullet$Exercice 77

Exercices dans ce dossier

Exercice 208 *

12 janvier 2021 15:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence de la suite de terme général

\[u_n=\dfrac{1}{n}\left(1+1+\dfrac{1}{n}+ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 + \dots+\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right).\]

Exercice 77

12 janvier 2021 15:17 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^2\). On considère la suite \(\left(u_n\right)\) donnée par : \[\begin{cases} u_0=a,\quad u_1=b\\u_{n+2}={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(u_{n+1}+u_n\right)\end{cases}\] Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), posons de plus : \(v_n=u_{n+1}-u_n\).

Montrer que \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique.
Calculer, en fonction de \(n\), la somme \(S_n=\sum_{k=0}^{n-1} v_k\).
En déduire, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\) en fonction de \(n\) ainsi que la limite de \(\left(u_n\right)\).

;

Success message!