Espérance et variance

Dans le dossier «Espérance et variance»

Espérance et variance

Les exercices

$\bullet$Variables aléatoires entières **
$\bullet$Variables indépendantes **
$\bullet$Formule de Wald **
$\bullet$Borel-Cantelli, Centrale 2015 ** Centrales
$\bullet$Beppo Levi **

Exercices dans ce dossier

Variables aléatoires entières **

14 mai 2024 13:00 — Par Michel Quercia

Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\).
1. Montrer que \(X\) a une espérance si et seulement si la série \(\sum_{k\geq 1}\mathbb P (X\geq k)\) est convergente et que dans ce cas, \(\mathbb E (X)\) est la somme de cette série.
2. Établir une formule analogue pour \(\mathbb V(X)\) en fonction de \(\sum_{k\geq 1}\mathbb P (X\geq k)\) et \(\sum_{k\geq 1}k\mathbb P (X\geq k)\).
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), mutuellement indépendantes et de même loi. On note pour \(n\in \mathbb{N}^*\) : \(M_n = \max(X_{1},\dots,X_n)\).
1. Calculer \(\mathbb P (M_n\leq k)\) en fonction de \(\mathbb P (X_{1}\leq k)\).
2. On suppose que la loi de \(X_{1}\) est la loi uniforme sur \(\llbracket 1,K\rrbracket\) avec \(K\geq 2\) fixé. Calculer \(\mathbb E (M_n)\) et \(\lim_{n\to \infty }\mathbb E (M_n)\).
3. On suppose que la loi de \(X_{1}\) est la loi géométrique de paramètre \(p\in {]0,1[}\). Calculer \(\mathbb E (M_n)\). Déterminer la loi de \(m_{2}=\min(X_{1},X_{2})\), son espérance, et en déduire \(\mathbb E (|X_{1}-X_{2}|)\).

Variables indépendantes **

14 mai 2024 13:00 — Par Michel Quercia

Soient \(X,Y\) deux variables aléatoires complexes discrètes indépendantes et de même loi, ayant une espérance. On se propose de prouver : \(\mathbb E (|X+Y|)\geq \mathbb E (|X-Y|)\).

Justifier : \(\forall x,y\in \mathbb{R}\), \(|x+y| - |x-y| = 2\min(|x|,|y|)\mathop{\rm sgn}\nolimits(xy)\) et \(\forall z\in \mathbb{C}\), \(\int _{\theta =0}^{2\pi }|\mathop{\mathrm{Re}}(ze^{-i\theta })|\,d \theta =4|z|\).
Traiter le cas où \(X,Y\) sont à valeurs dans \(\mathbb{Z}\). On utilisera les variables aléatoires \(X_{+} =\max(X,0)\), \(X^-=\max(-X,0)\), et \(Y_{+} ,Y^-\) définies de manière analogue pour \(Y\).
Traiter le cas où \(X,Y\) sont à valeurs dans \(\mathbb{R}\). On utilisera les variables aléatoires \(X_n=\lfloor nX\rfloor\), \(Y_n=\lfloor nY\rfloor\) avec \(n\in \mathbb{N}^*\).
Traiter le cas où \(X,Y\) sont à valeurs complexes.

Formule de Wald **

14 mai 2024 13:00 — Par Michel Quercia

Soient \((X_n)_{n\geq 1}\) et \(N\) des variables aléatoires sur un même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), les \(X_i\) ayant toutes même loi. On considère \(S = X_{1}+\dots+X_N\) (somme d’un nombre aléatoire de variables aléatoires, avec la convention \(S=0\) si \(N=0\)).

Montrer que \(S\) est une variable aléatoire et déterminer sa fonction génératrice en fonction des fonctions génératrices de \(N\) et \(X_{1}\).
En déduire \(\mathbb E (S)=\mathbb E (N)\mathbb E (X_{1})\) avec la convention \(0\times \infty =\infty \times 0=0\).

Borel-Cantelli, Centrale 2015 ** Centrales

14 mai 2024 13:00 — Par Michel Quercia

Soit \((\Omega ,\mathcal A ,\mathbb P )\) un espace probabilisé et \((E_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite d’évènements telle que \(\sum_{n\in \mathbb{N}}\mathbb P (E_n)<+\infty\).

Soit \(Z=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mathbb 1 _{E_n}\). Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire discrète.
Soit \(F=\{ \omega \in \Omega \text{ tq }\omega\) appartient à un nombre fini de \(E_n\}\). Montrer que \(F\) est un évènement et que \(\mathbb P (F)=1\).
Montrer que \(Z\) admet une espérance.

Beppo Levi **

14 mai 2024 13:00 — Par Michel Quercia

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète à valeurs réelles positives. En considérant \(Y=\lceil X\rceil\), montrer que \(0\leq \mathbb E (X)\leq \sum_{k=0}^\infty \mathbb P (X>k)\).
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires discrètes réelles positives sur un même espace probabilisé \((\Omega ,\mathcal T ,\mathbb P )\). On suppose : \(\forall \omega \in \Omega\), la suite \((X_n(\omega ))\) tend vers \(0\) en décroissant et \(\mathbb E (X_{0} )<+\infty\). Montrer que \(\mathbb E (X_n)\to _{n\to +\infty }0\).
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires discrètes réelles positives sur un même espace probabilisé \((\Omega ,\mathcal T ,\mathbb P )\) telle que pour tout \(\omega \in \Omega\) la série \(\sum_{n=0}^\infty X_n(\omega )\) converge vers un réel noté \(X(\omega )\). On suppose aussi que \(X\) est une variable aléatoire discrète (réelle positive). Montrer que \(\mathbb E (X)=\sum_{n=0}^\infty \mathbb E (X_n)\). Attention, ce résultat (bien utile dans certains exercices d’oral) est hors programme !

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