Variables aléatoires particulières

Exercices dans ce dossier

Exercice

Séries dans je jeu de pile ou face infini **

14 mai 2024 12:09 — Par Michel Quercia

On lance une infinité de fois une pièce ayant une probabilité \(p\in {]0,1[}\) de donner pile, les lancers étant mutuellement indépendants. Si \(\omega \in \{ P,F\} ^\mathbb{N}\), on décompose \(w\) en sous-suites de résultats consécutifs identiques, appelés séries, le résultat changeant d’une série à la suivante et on note \(L_{1}(\omega ),L_{2}(\omega ),\dots\) les longueurs de ces séries. Par exemple, si \(\omega =FFFPFPPPPFP\dots\), on a \(L_{1}(\omega )=3\), \(L_{2}(\omega )=1\), \(L_{3} (\omega )=1\), \(L_4(\omega )=4,L_5(\omega )=1\).

Les fonctions \(L_{1},L_{2},\dots\) sont bien définies sur le sous-ensemble \(\Omega '\) de \(\Omega =\{ P,F\} ^\mathbb{N}\) constitué des suites comportant une infinité de \(P\) et une infinité de \(F\).

  1. Prouver que \(\Omega '\) est un évènement et que \(\mathbb P (\Omega ')=1\).

    Dans la suite de l’exercice, on se place dans l’espace probabilisé constitué de \(\Omega '\), des évènements inclus dans \(\Omega '\) et de la restriction de \(\mathbb P\) à ces évènements. On admet que \(L_{1},L_{2},\dots\) sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé.

  2. Déterminer la loi de \(L_{1}\) et son espérance.

  3. Déterminer la loi conjointe de \((L_{1},L_{2})\). En déduire la loi de \(L_{2}\) et son espérance.

  4. Expliquer pourquoi \(L_{1}\) et \(L_{2}\) n’ont pas même loi. \(L_{1},L_{2}\) sont-elles indépendantes ?

  5. Montrer que \(L_{3}\) a même loi que \(L_{1}\), et que \(L_{1},L_{3}\) ne sont pas indépendantes si \(p\neq \frac12\).

Exercice

Association de parieurs (Centrale MP 2015) ** Centrales MP

14 mai 2024 12:10 — Par Michel Quercia

Dans l’énoncé, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(3\) et \(N\) un entier naturel non nul.

Un jeu oppose \(n\) joueurs notés \(J_{1},\dots,J_n\). Le jeu consiste à lancer \(N\) fois une pièce équilibrée. Avant les lancers, chaque joueur écrit une liste de prévisions pour les lancers. Les gagnants sont les joueurs ayant obtenu le plus grand nombre de prévisions correctes : ils se partagent alors la somme de \(S\) euros.

Dans la suite, on abrégera pile en \(P\) et face en \(F\). Par exemple, si \(N=3\) et si les lancers donnent \(PPF\), le joueur ayant prédit \(PFP\) aura une prévision correcte (l’ordre compte). Pour \(i\in \llbracket 1,n\rrbracket\), on note \(X_i\) le nombre de prévisions correctes du joueur \(J_i\) et \(G_i\) son gain.

  1. Dans cette question, on suppose que les joueurs choisissent leur prédiction au hasard indépendamment les uns des autres. On admet que dans ces conditions, les variables aléatoires \(X_i\) sont mutuellement indépendantes et de même loi.

    1. Justifier que les variables \(G_i\) ont même loi. On ne demande pas de déterminer explicitement cette loi.

    2. Justifier que l’espérance de \(G_i\) est \(S/n\) pour tout \(i\).

    3. Vérifier expérimentalement ce fait à l’aide d’une simulation en Python.

  2. Dans cette question, on suppose que les joueurs \(J_{1},J_{3} ,\dots,J_n\) choisissent leur prédiction au hasard indépendamment les uns des autres et le joueur \(J_{2}\) choisit les prévisions contraires de celles de \(J_{1}\). Par exemple, si \(N=3\) et \(J_{1}\) choisit \(PFP\) alors \(J_{2}\) choisit \(FPF\). On admet qu’alors les variables aléatoires \(X_{1},X_{3} ,\dots,X_n\) sont mutuellement indépendantes de même que les variables \(X_{2},X_{3} ,\dots,X_n\). A l’issue du jeu, les joueurs \(J_{1}\) et \(J_{2}\) se partagent leurs gains éventuels. On pose \(G'=G_{1}+G_{2}\) et \(Y=\max(X_{1},X_{2})\). On suppose enfin que \(N\) est impair : \(N=2p+1\).

    1. Montrer que les \(X_i\) suivent toutes la même loi que l’on précisera. Dans la suite, on notera \(q_k=\mathbb P (X_i=k)\) et \(\tau _k=\mathbb P (X_i\leq k)\).

    2. Préciser l’ensemble \(V\) des valeurs prises par \(Y\).

    3. Soient \(j\in \llbracket 1,n-1\rrbracket\) et \(k\in V\). Calculer \(\mathbb P (G'=S/j, Y=k)\) en fonction de \(q_k\) et \(\tau _{k-1}\).

    4. En déduire \(\mathbb E (G'), \mathbb E (G_{1})\) et \(\mathbb E (G_{2})\). La stratégie adoptée par \(J_{1}\) et \(J_{2}\) est-elle avantageuse ?

  3. Reprendre le modèle de la question précédente en supposant \(N\) pair : \(N=2p\). On vérifiera qu’alors \(\mathbb E (G')=\dfrac{2S}{n-1}\Bigl(1-\dfrac{\tau _p^n}{nq_p}+\dfrac{\tau _{p-1}^n}{nq_p}\Bigr)\). La stratégie adoptée par \(J_{1}\) et \(J_{2}\) est-elle avantageuse ?

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