Limite de probabilités **
16 avril 2024 14:12
— Par Michel Quercia
Soit
\((\mathbb P _k)_{k\in
\mathbb{N}}\) une suite de probabilités sur
\(\mathbb{N}\) (avec la tribu
\(\mathcal P (\mathbb{N})\)). On suppose que
pour tout entier
\(n\in \mathbb{N}\),
la suite
\((\mathbb P _k(\{ n\} ))\)
est convergente, de limite
\(p_n\in
{[0,1]}\).
-
Montrer que
\(\sum_{n\in
\mathbb{N}}p_n\leq 1\).
Donner un exemple où la somme est strictement plus petite
que
\(1\).
On suppose que
\(\sum_{n\in
\mathbb{N}}p_n=1\) et on pose pour
\(k,n\in \mathbb{N}\) :
\(a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\}
),p_n)\).
Montrer que
\(\sum_{n\in
\mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1\) et en déduire
\(\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\}
)-p_n|\to _{k\to \infty }0\).
Pour
\(X\subset \mathbb{N}\),
montrer que
\(\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty
}\sum_{n\in X}p_n\).
Prouver enfin que l’application
\(X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P
_k(X))\) est une probabilité sur
\(\mathbb{N}\).