Suites monotones et bornées

Dans le dossier «Suites monotones et bornées»

Suites monotones et bornées

Les exercices

Exercices dans ce dossier

Exercice 453 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général :

\[u_n=\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5}\right)\dots\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2n+1}\right)\]

Exercice 864 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence de la suite de terme général : \[u_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+k} $}.\]

Exercice 621 **

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général \[u_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle kn} $}\]

Exercice 41 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudiez la suite de terme général \[u_n= \prod_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{2k}\]

Exercice 567 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence de la suite de terme général : \[u_n={\scriptstyle 1!+2!+\dots+n!\over\scriptstyle n!}\]

Exercice 536 *

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\left(u_n\right)\) la suite de terme général : \(u_n=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\dots\left(1+a^n\right)\) avec \(0<a<1\).

Étudier les variations de cette suite.
Prouver l’inégalité : \[\forall x\in\mathbb{R}, \quad 1+x\leqslant e^x\]
En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.

Moyennes de Cesáro ***

12 janvier 2021 15:04 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((u_n)\) une suite croissante de limite \(l\in\mathbb{R}\). Pour tout \(n \geqslant 1\), on pose \[v_n=\dfrac{u_1+u_2+....+u_n}{n}.\]

Montrer que \((v_n)\) est croissante.
Montrer que \((v_n)\) est majorée et en déduire que \((v_n)\) est convergente vers un réel \(L\).
Établir que \(\forall n \geqslant 1, ~ v_{2n}\geqslant\dfrac{u_n+v_n}{2}\).
En déduire que \(l=L\).

La suite \(\left(v_n\right)\) s’appelle la suite des moyennes de Cesáro de la suite \(\left(u_n\right)\) et on vient de prouver le théorème de Cesáro dans le cas particulier où la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.

Exercice 222 **

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((u_n)\) une suite réelle et pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on considère \(v_n= \dfrac{u_1+ \dots + u_n}{n}\). La suite \(\left(v_n\right)\) est la suite des moyennes de Césaro de la suite \(\left(u_n\right)\) (voir l’exercice ).

On suppose que \(\left(v_n\right)\) converge. Est-ce que \(\left(u_n\right)\) converge ?
Si on suppose que \(\left(u_n\right)\) est croissante, montrer que \(\left(u_n\right)\) converge si et seulement si \(\left(v_n\right)\) converge.

Exercice 333 *

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On pose, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \[u_n=\dfrac{1 \times 3 \times 5 \times ... \times (2n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times ... \times (2n)}.\]

Montrer que \((u_n)\) converge.
On considère, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), la suite \(\left(v_n\right)\) de terme général : \(v_n=(n+1)u_n^2\). Montrer que \(\left(v_n\right)\) converge.
En déduire la limite de \(\left(u_n\right)\).

Exercice 46 **

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Etudier la suite \(u_{n} = \operatorname{th} 1 + \operatorname{th} 2 + \ldots + \operatorname{th} n - \ln \mathop{\mathrm{ch}}n\).

Exercice 710 **

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une suite d’entiers \((q_n)\) strictement croissante avec \(q_0 \geqslant 1\). On définit la suite \((u_n)\) de terme général \[u_n = \sum_{k=0}^n \prod_{j=0}^k \dfrac{1}{q_j}.\] Montrer que \((u_n)\) converge.

Exercice 706 ***

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une suite \((u_n)\) bornée vérifiant : \[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad 2u_n \leqslant u_{n+1} + u_{n-1}\] On définit une suite \((v_n)\) en posant pour \(n\in \mathbb N\), \(v_n=u_{n+1}-u_n\). Montrez que la suite \((v_n)\) converge et calculez sa limite.

Montrez que la suite \((v_n)\) est croissante et majorée. Montrez ensuite par l’absurde que sa limite vaut \(0\). (on pourra si \(l>0\) minorer \((u_n)\) à partir d’un certain rang par une suite qui diverge vers \(+\infty\)).

Exercice 528 ***

12 janvier 2021 15:05 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux réels \(a_0>0\) et \(b_0>0\). On définit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) par les relations de récurrence : \[\forall n\in \mathbb N, \quad a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} \quad b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\]

Montrer que \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(a_n\leqslant b_n\).
Montrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont monotones à partir du rang 1, qu’elles convergent et qu’elles ont la même limite.

;

Success message!