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Autour de la fonction exponentielle complexe
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Dans le dossier «Autour de la fonction exponentielle complexe»
Autour de la fonction exponentielle complexe
Les exercices
$\bullet$
Inégalité
**
$\bullet$
Inégalité, Polytechnique MP
\(^*\)
2006
**
Polytechnique
MP
$\bullet$
\(\lim((1+z/n)^n)\)
**
$\bullet$
Morphismes
\((\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C},*)\)
**
$\bullet$
\(e^z = z\)
**
$\bullet$
Équations trigonométriques
**
$\bullet$
\(|\cos|\)
et
\(|\sin|\)
sur le cercle unité
**
$\bullet$
Courbes
**
$\bullet$
Centrale MP 2002
**
Centrales
MP
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Exercices dans ce dossier
Exercice
Inégalité
**
15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac
Soit
\(z\in \mathbb{C}\)
. Montrer que
\(|e^z-1| \leq e^{|z|}-1 \leq |z|e^{|z|}\)
.
Exercice
Inégalité, Polytechnique MP
\(^*\)
2006
**
Polytechnique
MP
15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac
Soit
\(z=x+iy\in \mathbb{C}\)
avec
\(x,y\in \mathbb{R}\)
et
\(x\neq 0\)
. Montrer que
\(\Bigl|\dfrac{e^z-1}z\Bigr|\leq \Bigl|\dfrac{e^x-1}x\Bigr|\)
. Que dire en cas d’égalité ?
Exercice
\(\lim((1+z/n)^n)\)
**
15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac
Soit
\(z\in \mathbb{C}\)
. Montrer que
\(\left(1+\dfrac zn\right)^n \to _{n\to \infty } e^z\)
.
Exercice
Morphismes
\((\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C},*)\)
**
15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac
Soit
\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}^*\)
telle que :
\(\forall x,y\in \mathbb{R}\)
,
\(f(x+y) = f(x)f(y)\)
.
Si
\(f\)
est dérivable, montrer qu’il existe
\(\lambda \in \mathbb{C}\)
tel que :
\(\forall x\in \mathbb{R}\)
,
\(f(x) = e^{\lambda x}\)
.
Obtenir le même résultat si
\(f\)
est seulement supposée continue (prendre une primitive,
\(F\)
, de
\(f\)
et montrer qu’elle est de classe
\(\mathcal C ^2\)
).
Exercice
\(e^z = z\)
**
15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac
Montrer qu’il existe une infinité de complexes
\(z\)
tels que
\(e^z = z\)
(on calculera
\(x\)
en fonction de
\(y\)
, et on étudiera l’équation obtenue).
Exercice
Équations trigonométriques
**
15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac
Résoudre dans
\(\mathbb{C}\)
:
\(\cos z = 2\)
.
\(\mathop{\rm ch}\nolimits z = -1\)
.
\(\sin z + \sin jz + \sin j^2 z = 0\)
.
\(8\cos z + 4i\sin z = 7 + 5i\)
.
Exercice
\(|\cos|\)
et
\(|\sin|\)
sur le cercle unité
**
15 avril 2024 13:48 — Par Gérard Letac
Calculer
\(\sup\{ |\cos z| \text{ tq }|z|\leq 1\}\)
et
\(\sup\{ |\sin z| \text{ tq }|z|\leq 1\}\)
.
Exercice
Courbes
**
15 avril 2024 13:48 — Par Gérard Letac
Soient
\(M,M'\)
deux points du plan d’affixes
\(z = x+iy\)
et
\(z' = x'+iy'\)
.
On suppose que
\(z\)
et
\(z'\)
sont liés par la relation :
\(z' = e^z\)
. Étudier la courbe décrite par
\(M'\)
lorsque
\(M\)
décrit :
une droite
\(x =\)
cste.
droite verticale
une droite
\(y =\)
cste.
droite horizontale
une droite quelconque.
Reprendre les questions
[droiteverticale]
et
[droitehorizontale]
avec
\(z' = \cos z\)
.
Exercice
Centrale MP 2002
**
Centrales
MP
15 avril 2024 13:48 — Par Michel Quercia
Résoudre dans
\(\mathcal M _2(\mathbb{C})\)
:
\(\exp(M) = \begin{pmatrix}2i&1+i\\0&2i\\\end{pmatrix}\)
.
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