Autour de la fonction exponentielle complexe

Dans le dossier «Autour de la fonction exponentielle complexe»

Autour de la fonction exponentielle complexe

Les exercices

$\bullet$Inégalité **
$\bullet$Inégalité, Polytechnique MP\(^*\) 2006 ** Polytechnique MP
$\bullet$\(\lim((1+z/n)^n)\) **
$\bullet$Morphismes \((\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C},*)\) **
$\bullet$\(e^z = z\) **
$\bullet$Équations trigonométriques **
$\bullet$\(|\cos|\) et \(|\sin|\) sur le cercle unité **
$\bullet$Courbes **
$\bullet$Centrale MP 2002 ** Centrales MP

Exercices dans ce dossier

Inégalité **

15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac

Soit \(z\in \mathbb{C}\). Montrer que \(|e^z-1| \leq e^{|z|}-1 \leq |z|e^{|z|}\).

Inégalité, Polytechnique MP\(^*\) 2006 ** Polytechnique MP

15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac

Soit \(z=x+iy\in \mathbb{C}\) avec \(x,y\in \mathbb{R}\) et \(x\neq 0\). Montrer que \(\Bigl|\dfrac{e^z-1}z\Bigr|\leq \Bigl|\dfrac{e^x-1}x\Bigr|\). Que dire en cas d’égalité ?

\(\lim((1+z/n)^n)\) **

15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac

Soit \(z\in \mathbb{C}\). Montrer que \(\left(1+\dfrac zn\right)^n \to _{n\to \infty } e^z\).

Morphismes \((\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C},*)\) **

15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}^*\) telle que : \(\forall x,y\in \mathbb{R}\), \(f(x+y) = f(x)f(y)\).

Si \(f\) est dérivable, montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{C}\) tel que : \(\forall x\in \mathbb{R}\), \(f(x) = e^{\lambda x}\).
Obtenir le même résultat si \(f\) est seulement supposée continue (prendre une primitive, \(F\), de \(f\) et montrer qu’elle est de classe \(\mathcal C ^2\)).

\(e^z = z\) **

15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac

Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on calculera \(x\) en fonction de \(y\), et on étudiera l’équation obtenue).

Équations trigonométriques **

15 avril 2024 13:47 — Par Gérard Letac

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :

\(\cos z = 2\).
\(\mathop{\rm ch}\nolimits z = -1\).
\(\sin z + \sin jz + \sin j^2 z = 0\).
\(8\cos z + 4i\sin z = 7 + 5i\).

\(|\cos|\) et \(|\sin|\) sur le cercle unité **

15 avril 2024 13:48 — Par Gérard Letac

Calculer \(\sup\{ |\cos z| \text{ tq }|z|\leq 1\}\) et \(\sup\{ |\sin z| \text{ tq }|z|\leq 1\}\).

Courbes **

15 avril 2024 13:48 — Par Gérard Letac

Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et \(z' = x'+iy'\).

On suppose que \(z\) et \(z'\) sont liés par la relation : \(z' = e^z\). Étudier la courbe décrite par \(M'\) lorsque \(M\) décrit :

une droite \(x =\) cste.
une droite \(y =\) cste.
une droite quelconque.

Reprendre les questions [droiteverticale] et [droitehorizontale] avec \(z' = \cos z\).

Centrale MP 2002 ** Centrales MP

15 avril 2024 13:48 — Par Michel Quercia

Résoudre dans \(\mathcal M _2(\mathbb{C})\) : \(\exp(M) = \begin{pmatrix}2i&1+i\\0&2i\\\end{pmatrix}\).

;

Success message!