Série dont le terme général est défini par récurrence

Dans le dossier « Série dont le terme général est défini par récurrence»

Série dont le terme général est défini par récurrence

Les exercices

$\bullet$\(u_{n+1} = 1/{ne^{u_n}}\). Ensi P 90 **
$\bullet$\(x_{n+1} = x_n + x_n^2\) **
$\bullet$\(u_{n+1} = u_n - u_n^2\) **
$\bullet$\(u_{n+1}/u_n = (n+a)/(n+b)\) **
$\bullet$Exercice 2391 **
$\bullet$\(u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}\) **

Exercices dans ce dossier

\(u_{n+1} = 1/{ne^{u_n}}\). Ensi P 90 **

15 avril 2024 13:34 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_{1}\in \mathbb{R}\), \(u_{n+1} = \dfrac1{ne^{u_n}}\). Quelle est la nature de la série \(\sum u_n\) ?

\(x_{n+1} = x_n + x_n^2\) **

15 avril 2024 13:35 — Par Michel Quercia

Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_{0} > 0\) et \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(x_{n+1} = x_n + x_n^2\).

Montrer que \(x_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\).
On pose \(u_n = 2^{-n}\ln x_n\). Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente (on étudiera la série \(\sum u_{n+1}-u_n\)).
En déduire qu’il existe \(\alpha > 0\) tel que \(x_n \sim \alpha ^{2^n }\).

\(u_{n+1} = u_n - u_n^2\) **

15 avril 2024 13:35 — Par Michel Quercia

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_{0} < 1\) et \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = u_n - u_n^2\).

Montrer que la suite \((u_n)\) converge. Quelle est sa limite ?
Montrer que la série de terme général \(u_n^2\) converge.
Montrer que les séries de termes généraux \(\ln\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) et \(u_n\) divergent.
Montrer que \(u_n < \dfrac 1{n+1}\) et que la suite \((nu_n)\) est croissante. On note \(l\) sa limite.
On pose \(u_n = \dfrac{l -v_n}n\). Montrer que la série de terme général \(v_{n+1}-v_n\) converge.
En déduire que \(u_n\) est équivalent à \(\dfrac 1n\).

\(u_{n+1}/u_n = (n+a)/(n+b)\) **

15 avril 2024 13:35 — Par Michel Quercia

Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_{0} \in \mathbb{R}^*\) et la relation : \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+a}{n+b}\) où \(a\), \(b\) sont deux constantes réelles (\(-a,-b\not\in \mathbb{N}\)).

Montrer que \(u_n\) est de signe constant à partir d’un certain rang.
On pose \(v_n = (n+b-1)u_n\). Étudier la convergence de la suite \((v_n)\) (on introduira la série de terme général \(\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)\)).
En déduire que la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(a-b+1 < 0\) et calculer sa somme en fonction de \(a,b,u_{0}\).

Exercice 2391 **

15 avril 2024 13:35 — Par Gérard Letac

On se donne \(u_{1}\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par récurrence la suite \((u_n)\) par \(u_{n+1}=u_n+\dfrac1{n^a u_n}\dots\) Étudiez la limite de la suite \((u_n)\), et, quand \(a\leq 1\), en donner un équivalent.

\(u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}\) **

15 avril 2024 13:35 — Par Michel Quercia

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{a_n}{u_n}\) avec \(u_{0} > 0\). Montrer que la suite \((u_n)\) converge si et seulement si la série \(\sum a_n\) converge.

;

Success message!