Comparaisons séries intégrales

Dans le dossier «Comparaisons séries intégrales»

Comparaisons séries intégrales

Les exercices

$\bullet$Recherche d’équivalents **
$\bullet$\(\ln^2 (k)\) **
$\bullet$\((-1)^k\sqrt k\) **
$\bullet$Mines MP 2003 ** Mines-Ponts MP
$\bullet$\((x-1)\zeta (x) \to 1\) **

Exercices dans ce dossier

Recherche d’équivalents **

15 avril 2024 13:22 — Par Gérard Letac

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :

\(\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac 1{\sqrt k}\).
\(\sum_{k=2}^{n} \dfrac 1{k\ln k}\).

\(\ln^2 (k)\) **

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2 k\). La série de terme général \(\dfrac1{u_n}\) est-elle convergente ?

\((-1)^k\sqrt k\) **

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) quand \(n\to \infty\) (regrouper les termes deux par deux puis comparer à une intégrale).

Mines MP 2003 ** Mines-Ponts MP

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

Soit la suite de terme général \(u_n = \dfrac{\ln 2}2 + \dfrac{\ln 3}3 + \dots+ \dfrac{\ln n}n\).

Donner un équivalent de \(u_n\) en \(+\infty\).
Montrer que la suite de terme général : \(v_n = u_n - \dfrac{\ln^2 n}2\) est convergente.
Soit \(l = \lim_{n\to \infty } v_n\). Donner un équivalent de \(v_n-l\).

\((x-1)\zeta (x) \to 1\) **

15 avril 2024 13:23 — Par Gérard Letac

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta (x) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac 1{k^x}\). En comparant \(\zeta (x)\) à une intégrale, trouver \(\lim_{x\to 1_{+} } (x-1)\zeta (x)\).

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