Etudes asymptotiques

Dans le dossier «Etudes asymptotiques»

Etudes asymptotiques

Les exercices

$\bullet$\(\sum1/n\), Mines MP 2010 ** Mines-Ponts MP
$\bullet$Centrale MP 2001 ** Centrales MP
$\bullet$Stirling\(++\) **
$\bullet$Développement asymptotique **

Exercices dans ce dossier

\(\sum1/n\), Mines MP 2010 ** Mines-Ponts MP

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

On définit \(k_j = \min\{ k\in \mathbb{N}\text{ tq }\sum_{n=1}^k1/n\geq j\}\).

Prouver l’existence de \(k_j\). Quelle est la limite de \(k_j\) lorsque \(j\) tend vers l’infini ?
Calculer \(\lim_{j\to \infty }(k_{j+1}/k_j)\).

Centrale MP 2001 ** Centrales MP

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac1{n^2 -k^2 }\).

Stirling\(++\) **

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

Montrer que \(n! = \left(\dfrac ne\right)^n \sqrt {2\pi n}\left(1+\dfrac 1{12n} + O\left(\dfrac 1{n^2 }\right)\right)\).

Développement asymptotique **

15 avril 2024 13:21 — Par Gérard Letac

Montrer qu’il existe \(C\in \mathbb{R}\) tel que \(\sum_{k=1}^n \dfrac{\ln k}k = \dfrac12\ln^2 (n) + C + o(1)\).
Prouver : \(\dfrac{\ln2}2 - \int _{t=1}^3\dfrac{\ln t}t\,d t\leq C\leq \dfrac{\ln2}2 + \dfrac{\ln3}3 - \int _{t=1}^3\dfrac{\ln t}t\,d t\).
Prouver : \(\sum_{k=1}^n \dfrac{\ln k}k = \dfrac12\ln^2 (n) + C + \dfrac{\ln n}{2n} + o\Bigl(\dfrac{\ln n}{n}\Bigr)\).

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