Valeur approchée de la somme d'une série convergente

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Valeur approchée de la somme d'une série convergente

Les exercices

Exercices dans ce dossier

Calcul approché **

15 avril 2024 13:01 — Par Michel Quercia

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur approchée à \(10^{-8}\) près de sa somme.

Centrale P’ 1996 ** Centrales

15 avril 2024 13:02 — Par Michel Quercia

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2 }{(1+n^2 )^2 }\) converge. Calculer une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de sa somme.

\(1/n\ln^2 (n)\) **

15 avril 2024 13:02 — Par Michel Quercia

Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \dfrac1{n\ln^2 n}\).
On note \(S_n = \sum_{k=2}^n u_k\) et \(S = \sum_{k=2}^\infty u_k\). Montrer que \(\dfrac1{\ln(n+1)}\leq S-S_n\leq \dfrac1{\ln n}\) pour \(n\geq 2\).
Montrer que si \(S_n\) est une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près alors \(n > 10^{434}\).
On suppose disposer d’une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près ? (Rmq : 1 an \(\approx\) 32 millions de secondes)
Donner une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-3}\) près.

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