Convergence, divergence de suites

Dans le dossier «Convergence, divergence de suites»

Convergence, divergence de suites

Les exercices

$\bullet$Exercice 672 *
$\bullet$Exercice 485 *
$\bullet$Exercice 451 *
$\bullet$Exercice 998 *
$\bullet$Exercice 780 *
$\bullet$Exercice 456 *
$\bullet$Exercice 649 *
$\bullet$Exercice 67 *
$\bullet$Exercice 442 **
$\bullet$Divergence de \(\left(\cos n\right)\) ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 672 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n={\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n}\)
\(u_n={\scriptstyle n^2\over\scriptstyle n\left(n-1\right)}+\left(0.7\right)^n\)
\(u_n=n^3+2n^2-5n+1\)
\(u_n=3^n-n^2 2^n\)
\(u_n=(-1)^n\)
\(u_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}\)

Exercice 485 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n= \left(-3\right)^n + 3^n\)
\(u_n={\scriptstyle 2^{2n}+n 3^n\over\scriptstyle 2^{2n}-n 3^n}\)
\(u_n= {\scriptstyle a^n+b^n\over\scriptstyle a^n-b^n}\) où \(a,b\in\mathbb{R}\) et \(0< a< b\).
\(u_n={\scriptstyle 3^n-4\over\scriptstyle 3^n+2}\)
\(u_n={\scriptstyle\cos n\over\scriptstyle n}\)
\(u_n={\scriptstyle-n^2+1\over\scriptstyle n^2+3}\)

Exercice 451 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n={\scriptstyle n^2-n\ln n\over\scriptstyle n^2 + n (\ln n)^2}\)
\(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n\)
\(u_n={\scriptstyle n \sin n\over\scriptstyle n^2+1}\)
\(u_n=4^n-3^n+1\)
\(u_n= \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\right)^n - \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right)^n\)
\(u_n= a^n - \left(-a\right)^n\) où \(a\in\mathbb{R}\).

Exercice 998 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n={\scriptstyle e^{-n\cos^2 n}\over\scriptstyle n+1}\)
\(u_n= \sqrt{n^2-n} - \sqrt{n^2+1}\)
\(u_n={\scriptstyle\sin(n^2)\over\scriptstyle n}\)
\(u_n= \sqrt{n^4+n^2}-n^2-n\)
\(u_n= {\scriptstyle 2+4\left(-1\right)^n\over\scriptstyle n}\)
\(u_n= \sin({\scriptstyle n\pi\over\scriptstyle 2})\)

Exercice 780 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n=n\cos n+n^2\)
\(u_n= \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n\) où \(n>0\).
\(u_n={\scriptstyle\ln n\over\scriptstyle\sqrt{n+1}}\)
\(u_n= {\scriptstyle 3n+\cos n\over\scriptstyle n-1},\quad n\geqslant 2\)
\(u_n={\scriptstyle n^3+5n\over\scriptstyle 5n^3+\cos n + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2}}\) où \(n>0\).
\(u_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^k}}\)

Exercice 456 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n= \left(1+{\scriptstyle a\over\scriptstyle n}\right)^n\) où \(a\in\mathbb{R}\) et \(n>0\).
\(u_n= \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n\) où \(n>0\).
\(u_n= \sin {\scriptstyle 2n\pi\over\scriptstyle 3}\)
\(u_n= {\scriptstyle 4.\left(0.5\right)^n -2\over\scriptstyle\left(0.5\right)^n+3}\)
\(u_n= {\scriptstyle n^5\over\scriptstyle 5^n}\)
\(u_n= 2^n\sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2^n}\)

Exercice 649 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n={\scriptstyle 2n+(-1)^n\over\scriptstyle 5n+(-1)^{n+1}}\)
\(u_n= {\scriptstyle\ln\left(n+1\right)\over\scriptstyle\ln n}\) où \(n>0\)
\(u_n=\ln\left(n+1\right)-\ln n\) où \(n>0\).
\(u_n={\scriptstyle n\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\over\scriptstyle 2-\cos \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\) où \(n>0\).
\(u_n={\scriptstyle n-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\over\scriptstyle n+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\) où \(n>0\).
\(u_n= \ln\left(e^n +1\right)-n\)

Exercice 67 *

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

\(u_n= \left({\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle 3}\right)^n\)
\(u_n= \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}\right)\) où \(n>0\)
\(u_n=\sqrt{1-3n+n^2}\) où \(n>2\).
\(u_n={\scriptstyle\sin n\over\scriptstyle n+(-1)^{n+1}}\)
\(u_n=\sqrt[n]{2+(-1)^n}\)
\(u_n= {\scriptstyle n-(-1)^n\over\scriptstyle n+(-1)^n}\)

Exercice 442 **

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles telles que \(u_n^2+u_n v_n + v_n^2 \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).
Démontrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers \(0\).

Divergence de \(\left(\cos n\right)\) ***

12 janvier 2021 14:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que la suite \((\cos(n))\) diverge.

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