Exercice
Réduction en carrés d’une forme quadratique **
11 avril 2024 15:33
— Par Michel Quercia
Soient \(f_{1},\dots,f_p\), \(p\) formes linéaires sur \(\mathbb{R}^n\) telles que \(\mathop{\rm rg}\nolimits(f_{1}, \dots, f_p) = n\).
En considérant le produit scalaire : \((x|y) = \sum_{i=1}^p f_i(x)f_i(y)\), démontrer qu’il existe \(n\) formes linéaires \(g_{1}, \dots, g_n\) telles que :
\[\forall x\in \mathbb{R}^n ,\ \sum_{i=1}^p f_i(x)^2 = \sum_{i=1}^n g_i(x)^2 .\]
exemple : réduire \(x^2 + (x+y)^2 + (x+2y)^2\)