Avec les définitions

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Avec les définitions

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Exercice 522 *

12 janvier 2021 14:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((u_n)\) une suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs :

La suite \((u_n)\) est constante à partir d’un certain rang.
La suite \((u_n)\) est croissante à partir d’un certain rang.
\((u_n)\) ne converge pas vers 0.
la suite \(u_n\) n’est pas croissante à partir d’un certain rang.

Exercice 219 *

12 janvier 2021 14:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En utilisant les définitions et , montrer que :

\(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n})_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers \(0\)·
\(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n^2})_{n\in \mathbb{N}^*}\) converge vers \(0\)·
\(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2^n})_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(0\)·
\((n^2)_{n\in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\).
\((\sqrt n)_{n\in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\).
\((\ln n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 152 **

12 janvier 2021 14:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une suite \((u_n)\) qui converge vers \(0\). On définit la suite \((v_n)\) de terme général : \[v_n = \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n ku_k\] Montrer que \((v_n)\) converge vers \(0\).

Exercice 788 **

12 janvier 2021 14:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une suite réelle \((u_n)\) telle que \(\forall n \in \mathbb N\), \(u_n \in \mathbb{Z}\). Montrer que si la suite \((u_n)\) converge, alors elle est constante à partir d’un certain rang.

On pourra envisager la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_{n+1}-u_n\).

Exercice 581 ***

12 janvier 2021 14:54 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un réel \(\alpha \in ]0,1[\) et une suite \((u_n)\) convergeant vers une limite \(l\in \mathbb{R}\). Étudier la suite de terme général \[v_n = \sum_{k=0}^n \alpha^k u_{n-k}\]

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