Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions : \([a,b] \to \mathbb{R}^{+*}\) continues et \(\Phi : E \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \int _a^b f\times \int _a^b 1/f.\)

Montrer que \(\min\{ \Phi(f)\text{ tq }f\in E\} = (b-a)^2\) et chercher les fonctions réalisant le minimum.

Soit \(P\in \mathbb{R}[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que \(\int _{t=-1}^1 P^2 (t)\,d t = 1\).

Montrer que \(\sup\{ |P(x)| \text{ tq }-1\leq x\leq 1\} \leq 2\sqrt 2\).

Indication : pour \(a\in \mathbb{R}\) montrer qu’il existe \(P_a\in \mathbb{R}_{3} [X]\) tel que : \(\forall P\in \mathbb{R}_{3} [X]\), \(P(a) = \int _{t=-1}^1 P(t)P_a(t)\,d t\). Calculer explicitement \(P_a\), et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.