Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien

Dans le dossier «Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien»

Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien

Les sous-dossiers

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Les exercices

$\bullet$Caractérisation des bases orthonormales **
$\bullet$Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP
$\bullet$Vecteur défini par ses produits scalaires **
$\bullet$Famille duale de \(1,X,X^2 ,\dots\) ** Polytechnique

Sous-dossiers

Exercices dans ce dossier

Caractérisation des bases orthonormales **

9 avril 2024 13:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un ev euclidien, et \(e_{1},\dots,e_n\) des vecteurs unitaires tels que : \(\forall x\in E\), \(\left\|x\right\|^2 = \sum_{i=1}^n (x|e_i)^2\).

Démontrer que \((e_{1},\dots,e_n)\) est une base orthonormale de \(E\).
On remplace l’hypothèse : \(e_i\) unitaire par : \(\dim E = n\).
1. Démontrer que \((e_{1},\dots,e_n)\) est une base de \(E\).
2. Démontrer que : \(\forall x,y\in E\), \((x|y) = \sum_{i=1}^n (x|e_i)(y|e_i)\).
3. On note \(G\) la matrice de Gram de \(e_{1},\dots,e_n\). Démontrer que \(G^2 = G\) et conclure.

Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

9 avril 2024 13:58 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de \(E\) telle qu’il existe \(A\) et \(B\) strictement positifs vérifiant : \[\forall x\in E,\ A\left\|x\right\|^2 \leq \sum_{j\in I}(x|y_j)^2 \leq B\left\|x\right\|^2 .\]

Montrer que \((y_j)_{j\in I}\) engendre \(E\).
On choisit \(E=\mathbb{R}^2\). Montrer que \(y_{1}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\), \(y_{2}=\begin{pmatrix}-\sqrt 3/2\\-1/2\end{pmatrix}\), \(y_{3} =y_{2}\) conviennent.
Si \(A=B=1\) et \(\left\|y_j\right\|=1\) pour tout \(j\), montrer que \((y_j)_{j\in I}\) est une base orthonormale.
Si \(A=B\), montrer que pour tout \(x\in E\), \(x=\dfrac1A\sum_{j\in I}(x|y_j)y_j\).

Vecteur défini par ses produits scalaires **

9 avril 2024 13:59 — Par Michel Quercia

Soient \(f_{1},f_{2},\dots,f_n:[0,1]\to \mathbb{R}\) continues.

Existe-t-il \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue telle que : \(\forall i\), \(\int _{t=0}^1 f(t)f_i(t)\,d t = 1\) ?

Famille duale de \(1,X,X^2 ,\dots\) ** Polytechnique

9 avril 2024 13:59 — Par Michel Quercia

Montrer qu’il existe des polynômes \(P_{0} ,\dots,P_n \in \mathbb{R}_n[X]\) tels que : \(\forall i,j\leq n\), \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}t^iP_j(t)\,d t = \delta _{ij}\).
Montrer qu’il n’existe pas de suite de polynômes \((P_{0} ,\dots,P_n,\dots)\) telle que :

\(\forall i,j\in \mathbb{N}\), \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}t^iP_j(t)\,d t = \delta _{ij}\).

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