Espaces préhilbertiens réels

Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :

Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\mathbb{R}^2\). On considère l’espace \(E\) des fonctions \(f : D \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^1\) nulles sur le bord, \(C\), de \(D\).

Pour \(f,g \in E\), on pose \((f|g) = \int\int _D \Bigl( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g}{\partial y} \Bigr)\,d xd y\). Montrer que c’est un produit scalaire.

Soit \(E = \mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) et \(u:[a,b]\to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux. On pose pour \(f,g \in E\) : \((f|g) = \int _{t=a}^b u(t)f(t)g(t)\,d t\).

Soit \(E = \mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de \([a,b]\).

Pour \(f,g \in E\), on pose : \((f|g) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n}f(a_n)g(a_n)\).

Soit \((P_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite de polynômes à coefficients réels de degrés étagés (\(\deg P_n = n\)). Montrer qu’il existe un unique produit scalaire sur \(\mathbb{R}[X]\) pour lequel la famille \((P_n)\) est orthonormée.

Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) à termes réels telles que la série \(\sum u_n^2\) converge.

Pour \(u,v \in E\), on pose : \((u|v) = \sum_{n=0}^\infty u_nv_n\).