Espaces préhilbertiens

Dans le dossier «Espaces préhilbertiens»

Espaces préhilbertiens

Les sous-dossiers

Sous-dossiers

Algorithme de Gram-Schmidt

Les exercices

$\bullet$Base de Schmidt **
$\bullet$Base de Schmidt **
$\bullet$Décomposition \(QR\) **
$\bullet$Coefficients diagonaux dans la méthode de Schmidt **
$\bullet$Coordonnées des vecteurs de Schmidt **
$\bullet$\(\det({ }^t\!AA)\) **

Bases orthonormales, familles de vecteurs dans un espazce préhilbertien

Les sous-dossiers

$\bullet$

Les exercices

$\bullet$Caractérisation des bases orthonormales **
$\bullet$Polytechnique MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP
$\bullet$Vecteur défini par ses produits scalaires **
$\bullet$Famille duale de \(1,X,X^2 ,\dots\) ** Polytechnique

Espaces préhilbertiens complexes

Les exercices

$\bullet$\(f(x) \perp x \Rightarrow f = 0\) **

Espaces préhilbertiens réels

Les exercices

Formes linéaires et produits scalaires

Les exercices

$\bullet$Forme linéaire sur \(\mathbb{R}_{2}[X]\) ** Polytechnique
$\bullet$Magistère de Ker Lann 2010 **
$\bullet$Mines 2017 ** Mines-Ponts

Formes quadratiques

Les exercices

$\bullet$Réduction en carrés d’une forme quadratique **

Les exercices

$\bullet$Inversion **
$\bullet$Inégalité de Ptolémée **
$\bullet$Famille de vecteurs unitaires équidistants **
$\bullet$Famille obtusangle **
$\bullet$\(F + F^\perp \neq E\) **
$\bullet$Hanh-Banach pour une boule **
$\bullet$Équation du second degré **

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Les exercices

$\bullet$Inégalité de Cauchy-Schwarz **
$\bullet$Norme uniforme sur \(\mathbb{R}_{3} [X]\) ** Polytechnique

Matrices de Gram

Les exercices

$\bullet$Déterminant de Gram **
$\bullet$Angles \(> 2\pi /3\) **
$\bullet$Matrice de Gram **
$\bullet$Congruence des matrices de Gram **
$\bullet$Gram\((u(e_i))\) **
$\bullet$Forme quadratique associée à la matrice de Gram **

Polynômes orthogonaux

Les exercices

$\bullet$Polynômes orthogonaux **
$\bullet$Polynômes orthogonaux **

Problèmes de minimisation

Les exercices

Projections orthogonales

Les exercices

$\bullet$Expression analytique **
$\bullet$Projection sur un hyperplan **
$\bullet$Caractérisation des projections orthogonales **
$\bullet$Composition de projecteurs **
$\bullet$Projecteurs commutant **

Les exercices

$\bullet$Familles libres, Mines 2015 ** Mines-Ponts

Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace vectoriel

Les exercices

$\bullet$Somme directe orthogonale **
$\bullet$Orthogonal de \(\mathbb{R}[X]\) ** Polytechnique
$\bullet$Orthogonal d’un hyperplan **
$\bullet$Centrale MP 2000 ** Centrales MP
$\bullet$\(\left\|u(x)\right\| \leq \left\|x\right\|\) **
$\bullet$X MP\(^*\) 2000 ** Polytechnique MP

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