Applications linéaires continues

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Exercice

Théorème de Hahn-Banach (Polytechnique MP\(^*\) 2003) ** Polytechnique MP

21 mars 2024 21:32 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel normé de dimension finie et \(F\) un hyperplan de \(E\). Soit \(\varepsilon\in E\) tel que \(\mathbb{R}\varepsilon\) soit supplémentaire de \(F\). Soit \(f\) une forme linéaire sur \(F\).

  1. Montrer que : \(\forall x_{1},x_{2}\in F,\ f(x_{1})-\left\|f\right\|\;\left\|x_{1}-\varepsilon\right\| \leq \left\|f\right\|\;\left\|x_{2}+\varepsilon\right\| - f(x_{2})\).

  2. Montrer qu’il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que : \(\forall x_{1},x_{2}\in F,\ f(x_{1})-\left\|f\right\|\;\left\|x_{1}-\varepsilon\right\| \leq \alpha \leq \left\|f\right\|\;\left\|x_{2}+\varepsilon\right\| - f(x_{2})\).

  3. On définit \(\varphi \in E^*\) par \(\varphi _{|F} = f\) et \(\varphi (\varepsilon) = \alpha\). Montrer que \(\left\|\varphi \right\| = \left\|f\right\|\).

  4. On considère \(E = \{ u = (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \mathbb{R}^\mathbb{N}\text{ tq }\sum_{n\in \mathbb{N}}|u_n|<+\infty \}\) avec la norme définie par :

    \(\left\|u\right\| = \sum_{n\in \mathbb{N}}|u_n|\). Montrer que \(E\) est complet pour cette norme.

  5. Donner une famille dénombrable de sev de \(E\) de dimensions finies dont la réunion est dense dans \(E\).

  6. Soit \(F\) un sev de \(E\) de dimension finie et \(f\) une forme linéaire sur \(F\). Montrer qu’il existe une forme linéaire \(\varphi\) sur \(E\) telle que \(\varphi _{|F} = f\) et \(\left\|\varphi \right\| = \left\|f\right\|\).

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