Continuité

Soient \(E\), \(F\) deux espaces vectoriels normés et \(f:E\to F\).

Montrer que \(f\) est continue

si et seulement si : \(\forall A \subset E,\ f(\overline A) \subset \overline{f(A)}\)

si et seulement si : \(\forall B \subset F,\ f^{-1}( \overset{\circ}{B} ) \subset f^{-1}(B)^\circ\).

Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f:E\to F\). On note \(Gr(f) = \{ (x,y)\in E\times F\text{ tq }y = f(x)\}\).

Soient \(E,F\) deux espaces vectoriel normés et \(f:E\to F\) continue. Soit \((K_n)\) une suite décroissante de compacts de \(E\). Montrer que \(f(\bigcap_nK_n) = \bigcap_nf(K_n)\).

Soit \(E\) un espace vectoriel normé complet, \(F\) un espace vectoriel normé quelconque, \(f:E\to F\) une application continue et \((E_n)\) une suite décroissante de fermés de \(E\) dont le diamètre tend vers 0.

Montrer que \(f(\bigcap_n E_n) = \bigcap_n f(E_n)\).

Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et \(f:A\to F\) une fonction continue et injective (\(F\) = evn).

Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et \(f:A\to A\) telle que : \(\forall x,y\in A,\ d(f(x),f(y)) \geq d(x,y)\).

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal C ^1\) et \(g: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \begin{cases}\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} &\text{ si } x\neq y \\ {f'(x)}&\text{ si } x=y \end{cases} \end{array} \right.\)

Montrer que \(g\) est continue (attention : pour une fonction définie par cas, se placer au voisinage d’un point \((x_{0} ,y_{0} )\) et déterminer si un seul ou plusieurs cas sont à considérer dans ce voisinage).

Soit \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) continue. On pose \(g(x) = \sup(f(x,y)\text{ tq }y\in {[0,1]})\). Montrer que \(g\) est continue.

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f:E\to \mathbb{R}\) continue. On suppose que \(f(x) \to _{\left\|x\right\|\to \infty } +\infty\), c’est à dire : \[\forall A\in \mathbb{R},\ \exists B\in \mathbb{R}\text{ tq }\forall x\in E,\ \left\|x\right\| \geq B \Rightarrow f(x)\geq A.\]

On note \(\Omega = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0)\}\) et \(D = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \text{ tq }0 < x^2 +y^2 \leq 1 \}\). Soit \(f:\Omega \to \mathbb{R}\). On dit que \(f\) est positivement homogène de degré \(\alpha\) si :

Trouver une fonction \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) discontinue en \((0,0)\) mais telle que pour tous \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\), \(f(\alpha t,\beta t) \to _{t\to 0} 0\).

Soit \(E = \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(F = \mathbb{R}_n[X]\), et \(\varphi : E \rightarrow F, A \mapsto \chi_A\) (polynôme caractéristique). Montrer que \(\varphi\) est continue.

Soit \(E = \mathbb{R}[X]\). Pour \(P\in E\), on pose : \(\begin{cases} N_{1}(P) = \sup(|P(t)|\text{ tq }0\leq t\leq 1 )\\ N_{2}(P) = \sup(|P(t)|\text{ tq }1\leq t\leq 2 )\\ \varphi (P) = P(0). \\ \end{cases}\)

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f:E\to E\) une fonction \(k\)-lipchitzienne avec \(k < 1\). On choisit \(u_{0} \in E\) arbitrairement, et on considère la suite \((u_n)\) telle que pour tout \(n\) : \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Soit \(E\) un espace vectoriel normé complet et \(f:E\to E\) telle que \(f\circ f\) est contractante. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe.

Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et \(f:A\to A\) telle que : \[\forall x,y\in A,\ x\neq y \Rightarrow d(f(x),f(y)) < d(x,y).\]

Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit \(f:C\to C\), \(1\)-lipschitzienne. Montrer que \(f\) admet un point fixe. On pourra utiliser la fonction \(f_n:x\mapsto \frac1n a + (1-\frac1n)f(x)\) avec \(a\in C\).

Soit \(E=\mathbb{C}_d[X]\) normé par \(\left\|\sum a_iX^i\right\| = \sum |a_i|\), \(P\in E\) de degré \(d\) à racines simples et \(P_n\) une suite de polynômes de \(E\) convergeant vers \(P\). Soit \(z\in \mathbb{C}\) tel que \(P(z) = 0\) et \(\delta >0\).

Soit \(f\) une fonction polynomiale sur \(\mathbb{C}\). Montrer que l’image par \(f\) de tout fermé est un fermé.

Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\mathbb{C}\) borné. Montrer que \(\sup(|P(x)|,\ x\in U) = \sup(|P(x)|,\ x\in \mathop{\rm Fr}\nolimits(U))\).

Soient \(E,F\) deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels normés, \(F\) étant complet. Soit \(f\) une application continue de \(E\) dans \(F\) telle qu’il existe \(M\in \mathbb{R}^+\) vérifiant : \[\forall x,y\in E,\ \left\|f(x+y)-f(x)-f(y)\right\|\leq M.\]

Soit \(A\subset E\) une partie non vide bornée et \(f:A\to F\) uniformément continue. Montrer que \(f\) est bornée dans les cas suivants :