Complétude

Dans le dossier «Complétude»

Les exercices

$\bullet$Norme pour les fonctions lipschitziennes **
$\bullet$Intersection vide **
$\bullet$Théorème de Baire **

Exercices dans ce dossier

Norme pour les fonctions lipschitziennes **

21 mars 2024 21:21 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\}\). Pour \(f\in E\), on pose \(\left\|f\right\| = |f(0)| + \sup\limits_{x\neq y} \left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\).

Montrer que \(E\) est complet.

Intersection vide **

21 mars 2024 21:21 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \mathcal B (\mathbb{N},\mathbb{R}) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ bornées}\}\). On munit \(E\) de la norme : \(\left\|u\right\| = \sup\{ |u_n|,\ n\in \mathbb{N}\}\).

Montrer que \(E\) est complet.
Soit \(F_k = \{ u\in E\text{ tq }\left\|u\right\| = 1\text{ et }u_{0} =\dots=u_k=0\}\). Vérifier que les \(F_k\) forment une suite de fermés bornés emboîtés dont l’intersection est vide.

Théorème de Baire **

21 mars 2024 21:21 — Par Michel Quercia

Soit \(E\) un espace vectoriel normé complet et \((F_n)\) une suite de fermés de \(E\) d’intérieurs vides. On pose \(\smash{F = \bigcup _n F_n}\). Montrer que \(\overset{\circ}{F} = \emptyset\).

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