Compacité

Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et \((O_i)_{i\in I}\) un recouvrement ouvert de \(A\). Montrer qu’il existe \(r > 0\) tel que toute partie de \(A\) de diamètre inférieur ou égal à \(r\) soit incluse dans l’un des \(O_i\).

Soit \(E = \mathcal B (\mathbb{N},\mathbb{R}) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ bornées}\}\). On munit \(E\) de la norme : \(\left\|u\right\| = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n}|u_n|\). Montrer que \(A = \{ u\in E \text{ tq }\forall n\in \mathbb{N},\ 0\leq u_n\leq 1\}\) est compact.

Soit \(E\) l’espace des suites \(a\in \mathbb{R}^\mathbb{N}\) telles que \(\sum|a_i|\) converge, muni de la norme définie par \[\left\|a\right\|_\infty =\sup\{ |a_i|,\ i\in \mathbb{N}\} .\] Soit \(F\) le sous-ensemble des suites \(a\) telles que \(\sum|a_i|=1\). \(F\) est-il ouvert ? fermé ? compact ? borné ?

Soit \(E = \mathcal C ([0,2\pi ],\mathbb{R})\) muni de la norme \(\left\|\ \right\|_{2}\). Pour \(n\in \mathbb{N}\), on pose \(f_n(x) = \cos(nx)\).

Soit \(\left\|\ \right\|\) une norme sur \(\mathbb{R}^2\), \(A \subset \mathbb{R}^2\) une partie bornée contenant au moins deux points.

Soit \(E\) un evn de dimension infinie.

Soit \(K\) un compact de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(\sigma (K)\) l’ensemble des valeurs propres complexes des matrices de \(K\). Montrer que \(\sigma (K)\) est compact. Que dire si on suppose seulement \(K\) borné ?