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L2/SPE
Espaces vectoriels normés
Topologie
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Dans le dossier «Topologie»
Topologie
Les exercices
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Exercices dans ce dossier
Exercice
Parties de
\(\mathbb{R}^n\)
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
\(A = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \text{ tq }xy=1 \}\)
.
\(B = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \text{ tq }x^2 +xy+y^2 < 1 \}\)
.
\(C = \{ z\in \mathbb{C}\text{ tq }\mathbb{R}e(z^2 )\leq 1 \}\)
.
Exercice
Addition de parties
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soient
\(A,B\)
deux parties non vides d’un evn
\(E\)
. On note
\(A+B = \{ a + b\text{ tq }a\in A,\ b\in B \}\)
.
Montrer que
Si
\(A\)
ou
\(B\)
est ouvert, alors
\(A+B\)
est ouvert.
Si
\(A\)
et
\(B\)
sont fermés, alors
\(A+B\)
n’est pas nécessairement fermé (prendre
\(A = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \text{ tq }xy=1\}\)
et
\(B = \{ (x,0)\text{ tq }x\in \mathbb{R}\}\)
).
Si
\(A\)
et
\(B\)
sont compacts, alors
\(A+B\)
est compact.
Exercice
Ouverts disjoints
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soient
\(U,V\)
deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel normé. Montrer que
\(\overset{\circ}{\overline U}\)
et
\(\overset{\circ}{\overline V}\)
sont disjoints.
Donner un contrexemple lorsque
\(U\)
et
\(V\)
ne sont pas ouverts.
Exercice
\(A\)
ouvert disjoint de
\(B\)
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soient
\(A,B\)
deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si
\(A\)
est ouvert, montrer que
\(A\)
et
\(\overline B\)
sont disjoints.
Exercice
\(\overline{ \overset{\circ}{\overline U} } = \overline U\)
.
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(U\)
un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que
\(\overline{ \overset{\circ}{\overline U} } = \overline U\)
.
Exercice
Frontière d’un ouvert
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(U\)
un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière de
\(U\)
est d’intérieur vide.
Exercice
Diamètre de la frontière
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(A\)
une partie non vide et bornée d’un evn
\(E\)
. On note
\(\delta (A) = \sup\{ d(x,y) \text{ tq }x,y\in A\}\)
(
diamètre de
\(A\)
). Montrer que
\(\delta (A) = \delta (\mathop{\rm Fr}\nolimits(A))\)
.
Exercice
Partie dense dans un compact
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(A\)
une partie compacte d’un evn
\(E\)
. Montrer qu’il existe une suite
\((a_k)\)
d’éléments de
\(A\)
qui est dense dans
\(A\)
.
Exercice
Intersection emboitée
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(E\)
un espace vectoriel normé,
\((K_n)\)
une suite décroissante de compacts non vides de
\(E\)
et
\(K = \bigcap_n K_n\)
.
Montrer que
\(K\neq \emptyset\)
.
Soit
\(U\)
un ouvert contenant
\(K\)
. Montrer qu’il existe
\(n\)
tel que
\(K_n \subset U\)
.
Montrer que
\(\delta (K) = \lim_{n\to \infty } \delta (K_n)\)
(
\(\delta\)
est le diamètre).
Exercice
Ensemble dérivé
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(A\)
une partie d’un espace vectoriel normé
\(E\)
. Un point
\(x\in E\)
est dit
point d’accumulation de
\(A\)
si toute boule de centre
\(x\)
contient une infinité de points de
\(A\)
. On note
\(A'\)
l’ensemble des points d’accumulation de
\(A\)
(
ensemble dérivé de
\(A\)
). Montrer que
\(A'\)
est fermé, et comparer
\(A'\)
et
\(\overline A\)
.
Exercice
Voisinage fermé d’un fermé
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(F\)
un fermé de
\(\mathbb{R}^n\)
et
\(r > 0\)
. On pose
\(F' = \bigcup _{x\in F} \overline B(x,r)\)
. Montrer que
\(F'\)
est fermé.
Exercice
Ev engendré par un ouvert
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(\mathcal O\)
un ouvert non vide d’un ev normé
\(E\)
. Montrer que
\(\mathop{\rm vect}\nolimits(\mathcal O ) = E\)
.
Exercice
Adhérence et intérieur d’un sev
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(E\)
un evn et
\(F\)
un sev de
\(E\)
.
Montrer que
\(\overline{F}\)
est un sev de
\(E\)
.
Si
\(E\)
est de dimension finie, montrer que
\(F = \overline F\)
.
Dans le cas général, montrer que
\(\overset{\circ}{F} = \emptyset\)
ou
\(F = E\)
.
Exercice
Cône convexe engendré par un ensemble fini, ENS ULM-Lyon-Cachan MP
\(^*\)
2005
**
ENS
MP
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
\(E\)
est un
\(\mathbb{R}\)
-espace vectoriel normé et
\(a_{1},\dots,a_{n}\in E\)
. On pose
\(C=\Bigl\{ \sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i},\ \lambda _{i}\geq 0\Bigr\}\)
.
Montrer que, pour tout
\(x\in E\)
, il existe
\(c\in C\)
tel que
\(\left\|x-c\right\|=\inf \{ \left\|x-a\right\|,a\in C\}\)
.
En déduire que
\(C\)
est fermé.
Exercice
Partie convexe dense
**
21 mars 2024 21:15 — Par Michel Quercia
Soit
\(E\)
un evn de dimension finie et
\(C\subset E\)
convexe et dense. Montrer que
\(C=E\)
.
Exercice
L’ensemble des projecteurs est fermé
**
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(E\)
un evn de dimension finie et
\(\mathcal P\)
l’ensemble des projecteurs de
\(E\)
. Montrer que
\(\mathcal P\)
est fermé dans
\(\mathcal L (E)\)
.
Exercice
Adhérence et intérieur dans
\(\mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\)
**
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(E = \mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\)
muni de la norme de la convergence uniforme. Soit
\(P\)
l’ensemble des fonctions de
\(E\)
positives ou nulles. Chercher
\(\overline P\)
et
\(\overset{\circ}{P}\)
.
Mêmes questions avec la norme :
\(\left\|f\right\| = \int _{t=0}^1 |f(t)|\,d t\)
.
Exercice
Mines MP 2000
**
Mines-Ponts
MP
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
On pose
\(E=C([0,1],\mathbb{R})\)
et on le munit de la norme
\(\left\|\ \right\|_\infty\)
. Soit
\(F=\{ f\in E \text{ tq }f(0)=f(1)\}\)
. Déterminer l’adhérence et l’intérieur de
\(F\)
.
Exercice
Points isolés (Ens Ulm MP
\(^*\)
2003)
**
MP
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Les solutions de l’équation
\(u^2 =\mathop{\rm id}\nolimits_{\mathbb{R}^n }\)
pour
\(u\in \mathcal L (\mathbb{R}^n )\)
sont-elles isolées ?
Exercice
Adhérence et intérieur d’un convexe
**
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(A\)
une partie convexe d’un evn
\(E\)
.
Démontrer que
\(\overline A\)
et
\(\overset{\circ}{A}\)
sont aussi convexes (pour
\(\overset{\circ}{A}\)
: faire un dessin).
Montrer que l’application
\(x\mapsto d(x,A)\)
est convexe (c.a.d.
\(d(tx+(1-t)y,A)\leq td(x,A) + (1-t)d(y,A)\)
).
Exercice
Théorème des fermés emboités
**
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(E\)
un evn de dimension finie, et
\((B_n = B(a_n,r_n))\)
une suite de boules fermées, décroissante pour l’inclusion, tq
\(r_n \to _{n\to \infty } 0\)
.
Montrer que la suite
\((a_n)\)
admet une sous-suite convergeant vers
\(a\in E\)
.
Montrer que
\(a_n \to _{n\to \infty } a\)
.
Montrer que
\(\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n = \{ a\}\)
.
Exercice
Intersection de boules
**
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(E\)
un evn complet et
\((B_n(a_n,r_n))\)
une suite décroissante de boules fermées dont le rayon ne tend pas vers 0. Montrer que
\(\bigcap_n B_n\)
est une boule fermée.
Exercice
X MP
\(^*\)
2001
**
Polytechnique
MP
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
On considère l’espace
\(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\)
muni d’une norme quelconque.
Montrer que
\(GL_n(\mathbb{C})\)
est ouvert dense de
\(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\)
.
Soit
\(D_n(\mathbb{C})\)
l’ensemble des matrices diagonalisables de
\(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\)
. Montrer que
\(D_n(\mathbb{C})\)
est dense dans
\(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\)
.
Quel est l’intérieur de
\(D_n(\mathbb{C})\)
?
Exercice
Matrices nilpotentes, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP
\(^*\)
2006
**
ENS
MP
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(N\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\)
. Montrer que
\(N\)
est nilpotente si et seulement si la matrice nulle est adhérente à l’ensemble
\(\{ P^{-1}NP\)
,
\(P\in GL_n(\mathbb{C})\}\)
.
Exercice
Polynômes scindés (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP
\(^*\)
2003)
**
MP
21 mars 2024 21:16 — Par Michel Quercia
Soit
\(n\in \mathbb{N}^*\)
et
\(\sigma \in \mathbb{R}^n\)
. On note
\(P_\sigma = X^n - \sigma _{1} X^{n-1} + \dots+ (-1)^{n-1}\sigma _{n-1}X + (-1)^n \sigma _n\)
.
Soit
\(\Omega = \{ \sigma \in \mathbb{R}^n\)
tq
\(P_\sigma\)
est à racines réelles, distinctes
\(\}\)
.
\(\Omega\)
est-il ouvert ? fermé ?
Notons
\(f\)
:
\(\sigma \mapsto P_\sigma\)
. Déterminer
\(f(\overline \Omega )\)
.
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