Fonctions hyperboliques

Dans le dossier «Fonctions hyperboliques»

Fonctions hyperboliques

Les exercices

$\bullet$Exercice 837 *
$\bullet$Exercice 402 *
$\bullet$Exercice 626 *
$\bullet$Exercice 508 **
$\bullet$Exercice 501 **
$\bullet$Exercice 863 **
$\bullet$Exercice 298 **
$\bullet$Exercice 839 **
$\bullet$Exercice 270 **
$\bullet$Exercice 857 **
$\bullet$Exercice 224 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 837 *

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

\(\forall x\in\mathbb{R}^+, \quad \mathop{\mathrm{sh}}x\geqslant x\).
\(\forall x\in\mathbb{R},\quad \mathop{\mathrm{ch}}x \geqslant 1+\dfrac{x^2}{2}\)

Exercice 402 *

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Démontrer que \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \(\forall n \in \mathbb{N}\), \((\mathop{\mathrm{ch}}x + \mathop{\mathrm{sh}}x)^n= \mathop{\mathrm{ch}}(nx) + \mathop{\mathrm{sh}}(nx)\).

Exercice 626 *

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Simplifier, quand là où elles sont définies, les expressions suivantes :

\(\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\)
\(\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\)
\(\mathop{\mathrm{sh}}\left(2\mathop{\mathrm{argsh}}x\right)\)
\(\mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right)\)
\(\operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argch}}x\right)\)
\(\mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argth}}x\right)\)

Exercice 508 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Pour tout \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) et \(n\in\mathbb{N}\), calculer : \[\displaystyle{C_n=\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{ch}}(a+kb)} \quad \textrm{ et} \quad\displaystyle{S_n=\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{sh}}(a+kb)}.\]

Exercice 501 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Montrer que \(\forall x \neq 0\), \[\mathop{\mathrm{th}}x = \dfrac{2}{\mathop{\mathrm{th}}2x} - \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{th}}x}\] Calculer alors la somme \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k \mathop{\mathrm{th}}(2^k x)\]

Exercice 863 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Montrez que \[\forall x\geqslant 0, \quad\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{sh}}x)=\operatorname{arccos} \left(\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{ch}} x}\right)\] Retrouver ensuite ce résultat par la trigonométrie.

Exercice 298 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \(a\in \mathbb{R}\). Résoudre l’équation \[\mathop{\mathrm{ch}}x + \cos a = 2\mathop{\mathrm{sh}}x + \sin a\]

Exercice 839 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} ]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \ln\left( \tan\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)\right) \end{array} \right.\] Montrer que \(f\) est bien définie et que : \(\forall x\in I=]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}[\):

\(\mathop{\mathrm{th}}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle 2}=\tan {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\)
\(\mathop{\mathrm{th}}f(x)=\sin x\)
\(\mathop{\mathrm{ch}}f(x)=\dfrac{1}{\cos x}\)
\(\mathop{\mathrm{sh}}f(x) =\tan x\).

Exercice 270 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre l’équation \[5\mathop{\mathrm{ch}}x -4\mathop{\mathrm{sh}}x = 3\] On utilisera deux méthodes différentes: ) En exprimant tout à l’aide d’exponentielles, ) En utilisant \(t=\mathop{\mathrm{th}}\dfrac{x}{2}\).

Exercice 857 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer la dérivée de \(f:x\mapsto\sqrt{ \dfrac{1+\mathop{\mathrm{th}}x}{1-\mathop{\mathrm{th}}x} }\) sur un domaine à déterminer. Conclusion? Retrouver ce résultat en utilisant la trigonométrie.

Exercice 224 **

11 janvier 2021 15:44 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R}\), \[2\operatorname{arctan} (\mathop{\mathrm{th}}x)= \operatorname{arctan} ( \mathop{\mathrm{sh}}2x)\]

;

Success message!