Suites vectorielles

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({u}_n)\), \(({v}_n)\) deux suites de vecteurs telles que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ {u}_n \text{ est colinéaire à } {v}_n,\qquad {u}_n \to _{n\to \infty } u,\qquad {v}_n \to _{n\to \infty } v.\] Montrer que \(u\) et \(v\) sont colinéaires (raisonner par l’absurde et compléter \((u,v)\) en une base de \(E\)).

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites d’un evn \(E\) telles que \(u_n - v_n \to _{n\to \infty } 0\) et \((u_n)\) est de Cauchy. Montrer que \((v_n)\) est de Cauchy.

Soit \(E = \mathbb{R}[X]\) muni de la norme : \(\left\|\sum a_kX^k \right\| = \max(|a_k|,\ k\in \mathbb{N})\). On note \(P_n = 1 + X + \dfrac{X^2 }2 + \dots+ \dfrac{X^n }n\). Montrer que la suite \((P_n)\) est de Cauchy, mais ne converge pas.

Soit \((u_n)\) une suite convergeant vers \(l\) et \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\).

Soit \(B\) une matrice antisymétrique. On suppose que la suite \((B^n )\) converge vers une matrice \(C\). Que peut-on dire de \(C\) ?

Soit \((A_n)\) une suite de matrices de \(\mathcal M _p(\mathbb{R})\) vérifiant les propriétés suivantes : \[1:A_n\to _{n\to \infty } A\in \mathcal M _p(\mathbb{R}) \qquad 2:\text{pour tout $n$, $A_n$ est inversible} \qquad 3:A_n^{-1}\to _{n\to \infty } B\in \mathcal M _p(\mathbb{R}).\]

Soit \(A\in \mathcal M _p(\mathbb{R})\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers \(A\).

Soit \(A\in \mathcal M _p(\mathbb{R})\). On suppose que la suite de matrices : \(A_n = I + A + A^2 + \dots+ A^n\) converge vers une matrice \(B\). Montrer que \(I-A\) est inversible, et \(B = (I-A)^{-1}\).

Remarque : La réciproque est fausse, c’est à dire que la suite \((A_n)\) peut diverger même si \(I-A\) est inversible ; chercher un contre-exemple.

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une matrice \(P\). Montrer que \(P\) est une matrice de projection.

Soient \(E = \mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\), \((f_n)\) une suite de fonctions de \(E\) et \(f\in E\). Comparer les énoncés : \[1 : \left\|f_n-f\right\|_{1} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 0\qquad 2 : \left\|f_n-f\right\|_{2} \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 0\qquad 3 : \left\|f_n-f\right\|_\infty \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{} 0.\]

On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles que la série \(\sum x_n^2\) converge. On le munit du produit scalaire \((x|y)=\sum_{n=0}^\infty x_ny_n\). Soit \((y^s)\) une suite bornée d’éléments de \(E\). Montrer qu’on peut en extraire une sous-suite convergent faiblement, c’est-à-dire qu’il existe \(z\) telle que pour tout \(x\) de \(E\) on ait \((x|y^{s_k})\to _{k\to \infty }(x|z)\).

Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) de dimension finie, et \(u\in \mathcal L (E)\) tel que pour tout \(x\in E\) la suite \((u^n (x))_{n\in \mathbb{N}}\) est bornée.