Géométrie

Montrer que \(\overline B\) et \(\overset{\circ}{B}\) sont convexes.

Si la norme est euclidienne, montrer que si \(u,v\in \overline B\) avec \(u\neq v\), alors \({]u,v[}\subset \overset{\circ}{B}\).

En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie \(A\) telle que \(\overset{\circ}{B} \subset A\subset \overline B\) est convexe.

Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.

Montrer que : \(\forall x,y\in E\), \(|d(x,A) - d(y,A)|\leq \left\|x-y\right\|\).

Montrer que l’application \(x \mapsto d(x,A)\) est continue.

Montrer que \(d_A\) est continue.

Soient deux parties de \(\mathbb{R}^n\) non vides \(A,B\). Donner une condition équivalente à \(d_A=d_B\).

On note \(\rho (A,B) = \sup\{ |d_A(y)-d_B(y)|\), \(y\in \mathbb{R}^n \}\), valant éventuellement \(+\infty\).

Montrer que l’on a \(\rho (A,B) = \max\Bigl(\sup\limits_{x\in A} d_B(x),\ \sup\limits_{x\in B} d_A(x)\Bigr)\).

Soit \(K\) un compact convexe de \(\mathbb{R}^2\) d’intérieur non vide. Soit \(O\in \overset{\circ}{K}\). Montrer qu’il existe une fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+\) continue \(2\pi\)-périodique telle qu’en coordonnées polaires de centre \(O\), \(K\) est défini par \(\rho \leq f(\theta )\).

Soit \(g:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{x=0}^{\pi }g(x)\cos(x)\,d x = \int _{x=0}^{\pi }g(x)\sin(x)\,d x = 0\). Montrer que \(g\) s’annule au moins deux fois sur \(]0,\pi [\).

Soit \(G\) le centre de gravité de \(K\). Montrer que \(G\) est le milieu d’au moins trois diamètres de \(K\) (trois segments joignant deux points de la frontière).