Matrices symétriques

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). On suppose \({ }^t\!A = A\) et \(A^2 = 0\). Montrer que \(A=0\).

Soit \(M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétrique. Montrer que \(\mathop{\rm com}\nolimits(M)\) est aussi symétrique. La réciproque est-elle vraie ?

Diagonaliser dans une base orthonormée :

Soient \(a_{1},\dots,a_n \in \mathbb{R}\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \mathbb{N}^*\) tel que \(A^k = I\). Montrer que \(A^2 = I\).

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétrique de valeurs propres \(\lambda _{1},\dots,\lambda _n\). Montrer que \(\sum_{i,j} a_{ij}^2 = \sum_i \lambda _i^2\).

Soit \((A_i)\) une famille de matrices \(n\times n\) réelles symétriques commutant deux à deux. Montrer qu’il existe une matrice symétrique \(A\) et des polynômes \(P_i\) tels que : \(\forall i\), \(A_i = P_i(A)\).

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétriques, \(\lambda ,\lambda '\) leurs plus petites valeurs propres et \(\mu ,\mu '\) leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que toute valeur propre de \(A+B\) est comprise entre \(\lambda +\lambda '\) et \(\mu +\mu '\).

Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétriques et \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \max(\mathop{\rm sp}\nolimits(A+tB)).\) Montrer que \(f\) est convexe.

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(A_s\) sa partie symétrique et \(\alpha _{1}\leq \dots\leq \alpha _n\) les valeurs propres de \(A_s\). Montrer que toute valeur propre réelle de \(A\) est comprise entre \(\alpha _{1}\) et \(\alpha _n\).