Fonctions circulaires

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Dans le dossier «Fonctions circulaires»

Fonctions circulaires
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 751 *

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Prouver que :

  1. \(\forall x\in \mathbb{R}_+,\quad \sin x \leqslant x\)

  2. \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \cos x \geqslant 1-{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}\)
Exercice

Exercice 43 *

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Démontrer que \(\forall x \in \left] 0;{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\), \(\left( \dfrac{\sin x}{x}\right) ^2 + \dfrac{\tan x}{x} > 2\).
Exercice

Exercice 587 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Les-mathematiques.net

On a tracé le cercle le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé direct. L’angle \(\alpha\) est mesuré en radians. Les triangles \(OAH\) et \(OBC\) sont rectangles respectivement en \(H\) et \(C\). On rappelle que l’aire du secteur angulaire \(OAC\) est \(\alpha/2\).

  1. Calculer l’aire du triangle \(OAC\). En déduire que : \(\forall \alpha\in\left]0,\pi/2\right],\quad 0<\sin \alpha <\alpha\).

  2. Montrer que pour \(\alpha\in\left]0,\pi/2\right]\), on a \(1> \cos^2\alpha>1-\alpha^2\). En déduire que \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\cos\alpha}=1\).

  3. Calculer l’aire du triangle \(OBC\). En déduire les inégalités : \(\forall \alpha\in\left]0,\pi/2\right],\quad \sin\alpha<\alpha<\tan \alpha\).

  4. Déduire des questions précédentes que \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\dfrac{\sin \alpha}{\alpha}}=1\) et que \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\dfrac{\tan \alpha}{\alpha}}=1\). On prouve ainsi que \(\sin\) et \(\tan\) sont dérivables en \(0\). Expliquer pourquoi.

  5. Pour \(\alpha\in\left[0,\pi/2\right]\), Établir les inégalités : \[0\leqslant \cos^2\alpha \leqslant\cos\alpha,\quad 0\leqslant 1-\cos\alpha\leqslant\sin^2 \alpha \quad \textrm{ et} \quad 0\leqslant 1-\cos\alpha \leqslant\alpha^2 .\]

  6. En déduire \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos\alpha}{\alpha}}\).

  7. En déduire \(\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\cos\left(\alpha+h\right)-\cos\alpha}{h}}\) et \(\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\sin\left(\alpha+h\right)-\cos\alpha}{h}}\). Quelle propriété importante de \(\cos\) et \(\sin\) vient-on de prouver?

Exercice

Exercice 412 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Calculer :

  1. \(\operatorname{arcsin} (\sin ({\scriptstyle 3 \pi \over\scriptstyle 4}))\)

  2. \(\operatorname{arccos} ( \cos ({\scriptstyle 2009 \pi \over\scriptstyle 3}))\)
Exercice

Formule de Machin **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

  1. Montrer que \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} = \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} + \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\).

  2. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus \left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 8} + {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\mathbb{Z}\right)\), exprimer \(\tan \left(4x\right)\) en fonction de \(\tan x\).

  3. En déduire la formule de Machin : \[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} = 4 \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 5} - \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 239}\]
Exercice

Exercice 610 *

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

  1. Soit \(x\in\left[-1,1\right]\). Simplifier :

    1. \(\cos(\operatorname{arcsin} x)\)

    2. \(\sin(\operatorname{arccos} x)\).

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Simplifier :

    1. \(\cos(3 \operatorname{arctan} x)\)

    2. \(\cos^2({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \operatorname{arctan} x)\).
Exercice

Exercice 518 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Résoudre l’équation \(\operatorname{arcsin} x=2 \operatorname{arctan} x\).
Exercice

Exercice 691 *

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

  • Montrer que : \(\operatorname{arctan} x + \operatorname{arctan} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} = \left\{\begin{array}{l} {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} \textrm{ si } x>0 \\ -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} \textrm{ si } x<0 \end{array}\right.\)

  • Montrer que : \(\forall x \in [-1,1]\): \(\operatorname{arcsin} (x)+\operatorname{arccos} (x)={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).
Exercice

Exercice 683 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier la fonction \(f\) donnée par:

\[f:x \mapsto \cos^3 x + \sin^3 x.\]
Exercice

Exercice 481 ***

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier la fonction définie par : \[f(x) = \operatorname{arcsin} \left(2x\sqrt{1-x^2}\right)\]
Exercice

Exercice 136 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier \[f(x) = \operatorname{arccos} \left( \dfrac{\sqrt{x}}{1 + x}\right)\]
Exercice

Exercice 328 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier \[f(x) = \operatorname{arcsin} \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\]
Exercice

Exercice 635 **

11 janvier 2021 15:29 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudiez la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = \operatorname{arctan} \left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right) - 2\operatorname{arctan} x\]
Exercice

Exercice 799 **

11 janvier 2021 15:30 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur
Montrer que \[\forall x\in [0,1], \quad\operatorname{arcsin} \sqrt{x} = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\operatorname{arcsin} (2x-1)\] Retrouver ensuite ce résultat par la trigonométrie
( ).
On pourra poser \(x=\sin^2 u\)
Exercice

Exercice 431 **

11 janvier 2021 15:30 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier la fonction \[f(x)=\operatorname{arccos} \dfrac{1-x^2}{1+x^2} - 2\operatorname{arctan} x\]
Exercice

Exercice 906 **

11 janvier 2021 15:30 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier la fonction \[f(x)=\operatorname{arctan} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2} }\]
Exercice

Exercice 945 **

11 janvier 2021 15:30 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Étudier \[f(x) = \operatorname{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}-1}{x}\right)\]
Exercice

Exercice 8 **

11 janvier 2021 15:30 — Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur

Une statue de hauteur \(p\) est placée sur un piédestal de hauteur \(s\). Un observateur se trouve à une distance \(d\) de la statue (sa taille est négligeable). Trouver la distance \(d\) pour que l’observateur voie la statue sous un angle \(\alpha\) maximal.

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