Fonctions circulaires

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Exercice

Exercice 587 **

11 janvier 2021 15:29 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On a tracé le cercle le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé direct. L’angle \(\alpha\) est mesuré en radians. Les triangles \(OAH\) et \(OBC\) sont rectangles respectivement en \(H\) et \(C\). On rappelle que l’aire du secteur angulaire \(OAC\) est \(\alpha/2\).

  1. Calculer l’aire du triangle \(OAC\). En déduire que : \(\forall \alpha\in\left]0,\pi/2\right],\quad 0<\sin \alpha <\alpha\).

  2. Montrer que pour \(\alpha\in\left]0,\pi/2\right]\), on a \(1> \cos^2\alpha>1-\alpha^2\). En déduire que \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\cos\alpha}=1\).

  3. Calculer l’aire du triangle \(OBC\). En déduire les inégalités : \(\forall \alpha\in\left]0,\pi/2\right],\quad \sin\alpha<\alpha<\tan \alpha\).

  4. Déduire des questions précédentes que \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\dfrac{\sin \alpha}{\alpha}}=1\) et que \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\dfrac{\tan \alpha}{\alpha}}=1\). On prouve ainsi que \(\sin\) et \(\tan\) sont dérivables en \(0\). Expliquer pourquoi.

  5. Pour \(\alpha\in\left[0,\pi/2\right]\), Établir les inégalités : \[0\leqslant \cos^2\alpha \leqslant\cos\alpha,\quad 0\leqslant 1-\cos\alpha\leqslant\sin^2 \alpha \quad \textrm{ et} \quad 0\leqslant 1-\cos\alpha \leqslant\alpha^2 .\]

  6. En déduire \(\displaystyle{\lim_{\alpha \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos\alpha}{\alpha}}\).

  7. En déduire \(\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\cos\left(\alpha+h\right)-\cos\alpha}{h}}\) et \(\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\sin\left(\alpha+h\right)-\cos\alpha}{h}}\). Quelle propriété importante de \(\cos\) et \(\sin\) vient-on de prouver?

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