Matrices symétriques positives ou définies positives

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer que les valeurs propres de \(AB\) sont réelles.

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétriques positives. Montrer que \(0 \leq \mathop{\rm tr}\nolimits(AB) \leq \mathop{\rm tr}\nolimits(A)\mathop{\rm tr}\nolimits(B)\).

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) symétriques définies positives. Montrer que \(\det(A+B) \geq \det(A) + \det(B)\).

Soit \(A\) matrice réelle ; montrer que \(A\) est diagonalisable ssi il existe \(S\) symétrique réelle définie positive telle que \({ }^t\!A = SAS^{-1}\).

Soit \(A\in S_n(\mathbb{R})\). Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont positives si et seulement si pour toute matrice \(B\in S_n(\mathbb{R})\) de valeurs propres positives on a \(\mathop{\rm tr}\nolimits(AB)\geq 0\).

On munit \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) du produit scalaire canonique. Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). On définit \(\varphi _A:\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}}) \to \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) par : \(\forall M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\), \(\varphi _A(M) = { }^t\!AMA\).