Endomorphismes autoadjoints

Soit \(\mathcal B = (e_{1},\dots,e_n)\) une base arbitraire d’un ev euclidien \(E\), \(G\) la matrice de Gram des \(e_i\), \(f \in \mathcal L (E)\) et \(M\) sa matrice dans \(\mathcal B\).

Soit \(E\) un ev préhilbertien et \(u:E\to E\) telle que : \(\forall x,y \in E\), \((u(x)|y) = (x| u(y))\). Montrer que \(u\) est linéaire.

Soit \(E = \mathbb{R}_n[X]\). On pose pour \(P,Q \in E : (P|Q) = \int _{-1}^1 P(t)Q(t)\,d t\) et on considère \[u : E \rightarrow \mathbb{R}[X], P(X) \mapsto 2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X).\]

Pour \(P,Q \in \mathbb{R}_n[X]\) on pose \((P|Q) = \int _{t=-1}^1 \sqrt {\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,d t\) et \(\Phi(P) = (X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\).

Soit \(E\) un ev euclidien et \(u \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint. Montrer que \(\mathop{\rm Ker}\nolimits u \mathop{\oplus }\limits^\perp \mathop{\rm Im}\nolimits u = E\).

Soient \(E\) euclidien et \(u,v \in \mathcal L (E)\) auto-adjoints. Montrer que \(u\circ v\) est auto-adjoint si et seulement si \(u\circ v = v\circ u\).

Soit \(E\) un espace euclidien. Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?

Soient \(E\) un ev euclidien et \(u \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u) = 0\).

Soient \(E\) un espace euclidien, \(f \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint et \(\lambda _{1} \leq \lambda _{2} \leq \dots\leq \lambda _n\) ses valeurs propres.

Soient \(E\) un espace euclidien, \(h \in \mathcal L (E)\) autoadjoint, \(x_{0} \in E\) unitaire, \(p\) la projection orthogonale sur \(\mathop{\rm vect}\nolimits(x_{0} )\), et \(f = h+p\). On note \(\lambda _{1}\leq \dots\leq \lambda _n\) les valeurs propres de \(h\) et \(\mu _{1}\leq \dots\leq \mu _n\) celles de \(f\).

Montrer que \(\lambda _{1} \leq \mu _{1} \leq \dots\leq \lambda _n \leq \mu _n\).

Soit \(E\) un ev hermitien et \(u\in \mathcal L (E)\). Montrer que \(u=u^*\) si et seulement si pour tout \(x\in E\), \((u(x)|x)\) est réel.

Soient \(E\) un espace euclidien et \(u\in \mathcal L (E)\) autoadjoint positif.

Montrer : \(\forall x\in E\), \(\left\|u(x)\right\|^4 \leq (x|u(x))\times (u(x)|u^2 (x))\).

Soit \(H\) un espace de Hilbert et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes de \(H\) autoadjoints positifs continus telle que la suite \((u_{0} +\dots+u_n)\) est bornée dans \(\mathcal L _c(H)\). Montrer que pour tout \(x\in H\) la série \(\sum_{n=0}^\infty u_n(x)\) est convergente.

Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de \(E\).

On note \(P\) l’ensemble des fonctions réelles \(f\) polynomiales par morceaux, continues sur \([0,1]\) et vérifiant \({f(0)=f(1)=0}\). Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions de \(P\), on note \((f|g) = \int _{t=0}^1 f'(t)g'(t)\,d t\).

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(p\) endomorphismes autoadjoints \(u_{1},\dots,u_p\). Soit \(q_i\) la forme quadratique associée à \(u_i\) (\(q_i(x) = (u_i(x)|x)\)). On suppose : \[\forall x\in E,\ q_{1}(x) + \dots+ q_p(x) = \left\|x\right\|^2 \quad\text{et }\mathop{\rm rg}\nolimits(u_{1})+\dots+\mathop{\rm rg}\nolimits(u_p) = n.\]

Soit \(E=\mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\) muni du produit scalaire usuel et de la norme associée. Soit \(u\in \mathcal L (E)\) un endomorphisme symétrique laissant stable tous les sev \(\mathbb{R}_n[X]\) (considérés comme des sous-espaces de \(E\)). Montrer qu’il existe une famille échelonnée \((P_n)\) de polynômes propres pour \(u\) telle que pour toute fonction \(f\in E\), on ait \(f=\sum_{n=0}^\infty (P_n|f)P_n\).

Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(\mathop{\rm sp}\nolimits(u)\subset \mathbb{R}^{+*}\).

Pour tout \(x\) dans un espace euclidien \(E\), on considère \(u(x) = (a|x)a + (b|x)b\) avec \(a\) et \(b\) unitaires linéairement indépendants.