Endomorphismes normaux

Soit \(u\) normal, montrer que si \(F\) est un sous-espace propre de \(u\) alors \(F^\perp\) est stable par \(u\). En déduire que \(u\) est diagonalisable en base orthonormale. La réciproque est-elle vraie ?

Soit \(u\in \mathcal L (E)\). Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :

(1) \(u\) est normal. (2) \(\forall x\in E, \left\|u(x)\right\|=\left\|u^*(x)\right\|\). (3) Tout sev stable par \(u\) est stable par \(u^*\). (4) Si un sev \(F\) est stable par \(u\) alors \(F^\perp\) est stable par \(u\). (5) Il existe \(P\in \mathbb{C}[X]\) tel que \(u^* = P(u)\).