Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann

Dans le dossier «Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann»

Autour de la fonction $\zeta$ de Riemann

Les exercices

$\bullet$Fonction \(\zeta\) de Riemann **
$\bullet$Fonction \(\zeta\) de Riemann et constante d’Euler **
$\bullet$Fonctions \(\zeta\) et \(\eta\) **

Exercices dans ce dossier

Fonction \(\zeta\) de Riemann **

21 mars 2024 14:58 — Par Michel Quercia

Soit \(\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^x}\).

Déterminer le domaine de définition de \(\zeta\). Montrer que \(\zeta\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur ce domaine.
Prouver que \(\zeta (x)\to _{x\to +\infty }1\) (majorer \(\sum_{n=2}^\infty \dfrac1{n^x}\) par comparaison à une intégrale).
Prouver que \(\zeta (x)\to _{x\to 1_{+} }+\infty\).

Fonction \(\zeta\) de Riemann et constante d’Euler **

21 mars 2024 14:58 — Par Michel Quercia

Soit \(\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^x}\) et \(\gamma = \lim_{n\to \infty }\left(\frac 11 + \dots+ \frac 1n -\ln(n) \right)\).

Montrer que \(\gamma = 1 + \sum_{n=2}^\infty \left(\frac 1n + \ln\left(1-\frac 1n\right)\right)\) puis que \(\gamma = 1 - \sum_{k=2}^\infty \dfrac{\zeta (k)-1}k\).

Fonctions \(\zeta\) et \(\eta\) **

21 mars 2024 14:58 — Par Michel Quercia

Pour \(x>1\) on pose \(\zeta (x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^x}\) et pour \(x>0\) : \(\eta(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^x}\).

Établir pour \(x>1\) : \(\eta(x) = (1-2^{1-x})\zeta (x)\). En déduire \(\zeta (x) \sim \dfrac 1{x-1}\) pour \(x\to 1_{+}\).
Montrer que \(\zeta (x) = \dfrac 1{x-1} + \gamma + o(1)\). On remarquera que \(\dfrac 1{x-1} = \int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{d t}{t^x}\).
En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n \ln n}n\).

;

Success message!