Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances

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Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances

Les exercices

Exercices dans ce dossier

Inégalité de convexité **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Montrer que : \[\forall x>-1,\quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x\]
En déduire que : \[\forall n> 1,\quad \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n \leqslant e \leqslant\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^{-n}\]

Exercice 190 *

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Posons, pour \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \[a=\exp \left(x^2\right) \quad \textrm{ et} \quad b=\dfrac{1}{x}\ln\left(x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\right)\] Simplifier \(a^b\).

Des équations **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Résoudre les équations suivantes après avoir déterminé leur domaine de validité :

\(\ln\left(x-1\right)=\ln\left(3x-5\right)\)
\(\ln\left(\sqrt{2x-3}\right)=\ln\left(6-x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln x\)
\(2\ln x=\ln\left(x+4\right)+\ln \left(2x\right)\)
\(e^{4x}-3e^{2x}-4=0\).
\(8^{6x}-3.8^{3x}-4=0\).
\(x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x\)
\(2^{x^3}=3^{x^2}\)
\(\log_a x = \log_x a\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\)
\(\log_3 x - \log_2 x = 1\).
\(2^x+2^{x+1}+...+2^{x+n}=3^x+3^{x+1}+...+3^{x+n}\) où \(n\in \mathbb{N}\)

Des inéquations **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Résoudre les inéquations suivantes après avoir donné leur domaine de validité :

\(\ln\left(x^2-2x\right)>\ln\left(4x-5\right)\)
\(e^{x^2}>\left(e^x\right)^4\times e\).
\(a^{x^2} < (\sqrt{a})^{7x-3}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus \{1\}\).

Des limites **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Déterminer les limites suivantes:

\(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0^+} x^{ \sqrt{x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0^+} x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle e^x +2\over\scriptstyle e^x+1}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}x^2e^{-x}-x}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle\left(x^x\right)^x\over\scriptstyle x^{x^x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle a^{\left(b^x\right)}\over\scriptstyle b^{\left(a^x\right)}}}\) où \(1<a<b\).
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x}\ln\left({\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x}\right)}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left({\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\right)^{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x}\)

Exercice 391 **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Soit un entier \(n > 1\). On considère l’équation \[x^{x^n} = n\]

Montrer qu’il existe une unique solution à cette équation.
Déterminer cette unique solution.

Exercice 127 **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que le nombre de chiffres nécessaires pour écrire \(n\) en base \(10\) est égale à la partie entière de \(1+\log n\).

Exercice 460 **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Étudier la fonction définie par \(f(x) = x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\).

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