Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances

Dans le dossier «Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances»

Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances

Les exercices

$\bullet$Inégalité de convexité **
$\bullet$Exercice 190 *
$\bullet$Des équations **
$\bullet$Des inéquations **
$\bullet$Des limites **
$\bullet$Exercice 391 **
$\bullet$Exercice 127 **
$\bullet$Exercice 460 **
$\bullet$Calcul de limite **
$\bullet$Dérivées de \(\exp(-1/x)\) **
$\bullet$\((1+1/t)^t\) **
$\bullet$\(\ln(1+ax)/\ln(1+bx)\) **
$\bullet$Inégalité **
$\bullet$Racine d’une somme d’exponentielles **
$\bullet$Centrale MP 2000 ** Centrales MP

Exercices dans ce dossier

Inégalité de convexité **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Montrer que : \[\forall x>-1,\quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x\]
En déduire que : \[\forall n> 1,\quad \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n \leqslant e \leqslant\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^{-n}\]

Exercice 190 *

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Posons, pour \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \[a=\exp \left(x^2\right) \quad \textrm{ et} \quad b=\dfrac{1}{x}\ln\left(x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\right)\] Simplifier \(a^b\).

Des équations **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Résoudre les équations suivantes après avoir déterminé leur domaine de validité :

\(\ln\left(x-1\right)=\ln\left(3x-5\right)\)
\(\ln\left(\sqrt{2x-3}\right)=\ln\left(6-x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln x\)
\(2\ln x=\ln\left(x+4\right)+\ln \left(2x\right)\)
\(e^{4x}-3e^{2x}-4=0\).
\(8^{6x}-3.8^{3x}-4=0\).
\(x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x\)
\(2^{x^3}=3^{x^2}\)
\(\log_a x = \log_x a\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\)
\(\log_3 x - \log_2 x = 1\).
\(2^x+2^{x+1}+...+2^{x+n}=3^x+3^{x+1}+...+3^{x+n}\) où \(n\in \mathbb{N}\)

Des inéquations **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Résoudre les inéquations suivantes après avoir donné leur domaine de validité :

\(\ln\left(x^2-2x\right)>\ln\left(4x-5\right)\)
\(e^{x^2}>\left(e^x\right)^4\times e\).
\(a^{x^2} < (\sqrt{a})^{7x-3}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus \{1\}\).

Des limites **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Déterminer les limites suivantes:

\(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0^+} x^{ \sqrt{x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0^+} x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle e^x +2\over\scriptstyle e^x+1}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}x^2e^{-x}-x}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle\left(x^x\right)^x\over\scriptstyle x^{x^x}}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle a^{\left(b^x\right)}\over\scriptstyle b^{\left(a^x\right)}}}\) où \(1<a<b\).
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x}\ln\left({\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x}\right)}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left({\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\right)^{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x}\)

Exercice 391 **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Soit un entier \(n > 1\). On considère l’équation \[x^{x^n} = n\]

Montrer qu’il existe une unique solution à cette équation.
Déterminer cette unique solution.

Exercice 127 **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que le nombre de chiffres nécessaires pour écrire \(n\) en base \(10\) est égale à la partie entière de \(1+\log n\).

Exercice 460 **

11 janvier 2021 15:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur

Étudier la fonction définie par \(f(x) = x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\).

Calcul de limite **

12 mars 2024 09:54 — Par Michel Quercia

Montrer que : \(\forall x > 0\), \(x - {1/2}x^2 < \ln(1+x) < x\). En déduire \(\lim_{n\to \infty } \left(1+\dfrac 1{n^2 }\right)\left(1+\dfrac 2{n^2 }\right) \dots\left(1+\dfrac n{n^2 }\right)\).

Dérivées de \(\exp(-1/x)\) **

12 mars 2024 09:54 — Par Michel Quercia

On pose \(f(x) = \exp(-1/x)\) si \(x > 0\) et \(f(0)=0\).

Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\), et que \(f^{(n)}(x)\) est de la forme \(P_n(x)x^{-2n}\exp(-1/x)\) où \(P_n\) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à \(n-1\) (\(n \geq 1\)).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) en \(0_{+}\).
Montrer que le polynôme \(P_n\) possède \(n-1\) racines dans \(\mathbb{R}^{+*}\).

\((1+1/t)^t\) **

12 mars 2024 09:54 — Par Michel Quercia

Montrer que : \(\forall t > 1\), \(\left(1+\dfrac 1t\right)^t < e < \left(1+\dfrac 1{t-1}\right)^t\).
Montrer que : \(\forall x,y>0\), \(\left(1+\dfrac xy\right)^y < e^x < \left(1+\dfrac xy\right)^{x+y}\).

\(\ln(1+ax)/\ln(1+bx)\) **

12 mars 2024 09:54 — Par Michel Quercia

Soient \(0 < a < b\). Montrer que la fonction \(f : \mathbb{R}^{+*} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \dfrac {\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}\) est croissante.

Inégalité **

12 mars 2024 09:54 — Par Michel Quercia

Soient \(0 < a < b\). Montrer que : \(\forall x > 0\), \(ae^{-bx} - be^{-ax} > a-b\).

Racine d’une somme d’exponentielles **

12 mars 2024 09:54 — Par Michel Quercia

Soient \(0 < a_{1} < a_{2} < \dots< a_p\) des réels fixés.

Montrer que pour tout réel \(a > a_p\) il existe un unique réel \(x_a > 0\) solution de : \(a_{1}^x + \dots+ a_p^x = a^x\).
Pour \(a < b\), comparer \(x_a\) et \(x_b\).
Chercher \(\lim_{a\to +\infty } x_a\) puis \(\lim_{a\to +\infty } x_a\ln a\).

Centrale MP 2000 ** Centrales MP

12 mars 2024 10:02 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}^{+*}\to \mathbb{R}^{+*}\) telle que : \(\forall x,y>0\), \(f(xf(y))=yf(x)\) et \(f(x)\xrightarrow[x\rightarrow 0_{+} ]{}+\infty\).

Montrer que \(f\) est involutive.
Montrer que \(f\) conserve le produit. Que peut-on dire de la monotonie de \(f\), de sa continuité ?
Trouver \(f\).

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