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L2/SPE
Suites et séries de fonctions
Etude pratique de la somme d'une série de fonctions
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Dans le dossier «Etude pratique de la somme d'une série de fonctions»
Etude pratique de la somme d'une série de fonctions
Les exercices
$\bullet$
Fonction définie par une série
**
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Fonction définie par une série (Centrale MP 2003)
**
Centrales
MP
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Fonction définie par une série
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$\bullet$
Fonction définie par une série
**
$\bullet$
Fonction définie par une série
**
$\bullet$
Fonction définie par une série
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$\bullet$
Ensi PC 1999
**
PC
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Développement de
\(\coth(x)\)
**
$\bullet$
\(\sum\sin(n)/n\)
**
$\bullet$
Centrale MP 2000
**
Centrales
MP
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Mines MP 2001
**
Mines-Ponts
MP
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Centrale MP 2001
**
Centrales
MP
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Centrale MP 2001
**
Centrales
MP
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Centrale MP 2002
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Centrales
MP
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ENS Lyon-Cachan MP 2002
**
ENS
MP
$\bullet$
Fonction définie par une série
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$\bullet$
Recherche d’équivalents, Centrale MP 2006
**
Centrales
MP
$\bullet$
Étude de
\(\sum t^{p-1}\sin(px)\)
pour
\(x\in {]0,\pi [}\)
, TPE MP 2005
**
MP
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Fonction définie par une série, CCP 2015
**
CCP
$\bullet$
Développement en série de
\(\mathop{\rm cotan}\nolimits\)
, Centrale MP 2011
**
Centrales
MP
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Exercices dans ce dossier
Exercice
Fonction définie par une série
**
21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia
On pose
\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\arccos(\cos nx)}{n!}\)
.
Montrer que
\(f\)
est définie sur
\(\mathbb{R}\)
, continue, paire et
\(2\pi\)
-périodique.
Calculer
\(f(0)\)
,
\(f(\pi )\)
,
\(f(\frac\pi 2)\)
.
Exercice
Fonction définie par une série (Centrale MP 2003)
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia
Soit
\(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2 n^2 }\)
sous réserve de convergence
\((a\in \mathbb{R}\)
).
Domaine de définition de
\(f\)
?
Limite de
\(f(a)\)
quand
\(a\to +\infty\)
?
Limite de
\(af(a)\)
quand
\(a\to 0\)
?
Exercice
Fonction définie par une série
**
21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia
Étudier la convergence de la série
\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac1{1+x^n }\)
.
Montrer que
\(f\)
est de classe
\(\mathcal C ^1\)
sur son domaine de définition.
Tracer la courbe représentative de
\(f\)
sur
\(]1,+\infty [\)
.
Exercice
Fonction définie par une série
**
21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia
Soit
\(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n }{n!\,(x+n)}\)
.
Déterminer le domaine,
\(D\)
de définition de
\(g\)
et prouver que
\(g\)
est de classe
\(\mathcal C ^\infty\)
sur
\(D\)
.
Montrer que la quantité :
\(xg(x) - g(x+1)\)
est constante sur
\(D\)
.
Tracer la courbe représentative de
\(g\)
sur
\(]0,+\infty [\)
.
Donner un équivalent de
\(g(x)\)
en
\(+\infty\)
et en
\(0_{+}\)
.
Exercice
Fonction définie par une série
**
21 mars 2024 14:44 — Par Michel Quercia
Soit
\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac1{x(x+1)\dots(x+n)}\)
.
Établir l’existence et la continuité de
\(f\)
sur
\(\mathbb{R}^{+*}\)
.
Calculer
\(f(x+1)\)
en fonction de
\(f(x)\)
.
Tracer la courbe de
\(f\)
.
Exercice
Fonction définie par une série
**
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Étudier la convergence simple, uniforme, de
\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty (\arctan(x+n) - \arctan(n))\)
.
Montrer que
\(f\)
est de classe
\(\mathcal C ^1\)
sur
\(\mathbb{R}\)
.
Chercher une relation simple entre
\(f(x)\)
et
\(f(x+1)\)
.
Trouver
\(\lim_{x\to +\infty } f(x)\)
.
Exercice
Ensi PC 1999
**
PC
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Soit
\(f_n(x) = \dfrac{(-1)^n \cos^n x}{n+1}\)
.
Étudier la convergence de
\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\)
.
Montrer la convergence de la série de terme général
\(u_n = \int _{x=0}^{\pi /2} f_n(x)\,d x\)
.
En déduire
\(\sum_{n=0}^\infty u_n\)
sous forme d’une intégrale.
Exercice
Développement de
\(\coth(x)\)
**
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Décomposer en éléments simples sur
\(\mathbb{C}\)
la fractions rationnelle :
\(F_n(X) = \dfrac1{(1+X/n)^n -1}\)
.
En déduire pour
\(x\in \mathbb{R}^*\)
:
\(\coth x = \dfrac1{e^{2x}-1} - \dfrac1{e^{-2x}-1} = \dfrac1x + \sum_{k=1}^\infty \dfrac{2x}{x^2 +k^2 \pi ^2 }\)
.
En déduire la valeur de
\(\zeta (2)\)
.
Exercice
\(\sum\sin(n)/n\)
**
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Pour
\(n\in \mathbb{N}^*\)
et
\(x\in [-1,1]\)
on pose
\(u_n(x)=\dfrac{x^n \sin(nx)}n\)
.
Montrer que la série
\(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\)
converge uniformément sur
\([-1,1]\)
vers une fonction continue,
\(f\)
.
Justifier la dérivabilité de
\(f\)
sur
\(]-1,1[\)
et calculer
\(f'(x)\)
. En déduire
\(f(x)\)
.
En déduire la valeur de
\(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}n\)
.
Exercice
Centrale MP 2000
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Pour
\(y\in \mathbb{R}\)
et
\(n\in \mathbb{N}^*\)
, on pose
\(a_n(y) = \dfrac{\cos(ny)}{\sqrt n}\)
.
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
\(\sum a_n(y)x^n\)
.
Soit
\(D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 ,\ |x|<1\}\)
et
\(F(x,y) = \sum_{n=1}^{+\infty } a_n(y)x^n\)
. Montrer que
\(F\)
,
\(\partial F/\partial x\)
et
\(\partial F/\partial y\)
existent en tout point de
\(D\)
.
Exercice
Mines MP 2001
**
Mines-Ponts
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Pour
\(x\in \mathbb{R}_{+}\)
et
\(n\in \mathbb{N}\)
,
\(n\geq 2\)
on pose
\(f_n(x) = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n}\)
et
\(S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)\)
sous réserve de convergence.
Étudier la convergence simple, normale, uniforme de la série
\(\sum f_n\)
sur
\(\mathbb{R}_{+}\)
.
Montrer que
\(S\)
est de classe
\(\mathcal C ^1\)
sur
\(\mathbb{R}^{+*}\)
.
Montrer que
\(S\)
n’est pas dérivable à droite en
\(0\)
.
Montrer que
\(x^kS(x)\)
tend vers
\(0\)
en
\(+\infty\)
pour tout
\(k\in \mathbb{N}\)
.
Exercice
Centrale MP 2001
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Convergence et limite en
\(1^-\)
de
\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(1-x)x^n }{1+x^n }\)
.
Exercice
Centrale MP 2001
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Soit
\(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{t^n }{1-t^n }\)
.
Pour quelles valeurs de
\(t\)
,
\(S\)
est-elle définie ? Est-elle continue ?
Montrer qu’au voisinage de
\(1^-\)
on a
\(S(t) = -\dfrac{\ln(1-t)}{1-t} + O\Bigl(\dfrac1{1-t}\Bigr)\)
. On pourra développer
\(\ln(1-t)\)
en série entière.
Exercice
Centrale MP 2002
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
On pose
\(\varphi (x)= d(x,\mathbb{Z})=\inf\{ |x-n| \text{ tq }n\in \mathbb{Z}\}\)
.
Montrer que
\(f\)
:
\(\mathbb{R}\ni x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty } (\frac34)^n \varphi (4^n x)\)
est définie et continue.
Montrer que
\(\varphi\)
est lipschitzienne. Que peut-on en déduire pour
\(f\)
?
Montrer que
\(f\)
n’est dérivable en aucun point.
Exercice
ENS Lyon-Cachan MP 2002
**
ENS
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Soin
\((a_n)_{n\geq 1}\)
une suite complexe telle que la série
\(\sum a_n\)
converge. On pose :
\(f(h) = \sum_{n=1}^\infty a_n\dfrac{\sin^2 (nh)}{(nh)^2 }\)
si
\(h\neq 0\)
et
\(f(0) = \sum_{n=1}^\infty a_n\)
. Étudier le domaine de définition et la continuité de
\(f\)
.
Exercice
Fonction définie par une série
**
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
On pose pour
\(x\in \mathbb{R}\)
:
\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt {n^2 +x^2 }}\)
.
Déterminer
\(\lim_{x\to \infty }f(x)\)
.
Chercher un équivalent de
\(f(x)\)
en
\(+\infty\)
.
Exercice
Recherche d’équivalents, Centrale MP 2006
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Déterminer un équivalent au voisinage de
\(0\)
de
\(S_{1}(x) = \sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits{(nx)}}}\)
et
\(S_{2}(x) = \sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits^{2}{(nx)}}}\)
.
Exercice
Étude de
\(\sum t^{p-1}\sin(px)\)
pour
\(x\in {]0,\pi [}\)
, TPE MP 2005
**
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Calculer
\(S_n(t) = \sum_{p=1}^n t^{p-1}\sin(px)\)
puis
\(S(t) = \lim_{n\to \infty } S_n(t)\)
.
Calculer
\(\int _{t=0}^1 S_n(t)\,d t\)
et
\(\int _{t=0}^1 S(t)\,d t\)
.
En déduire que
\(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin nx}n\)
converge et donner sa valeur.
Exercice
Fonction définie par une série, CCP 2015
**
CCP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Soient
\(n\in \mathbb{N}^*\)
et
\(x\in \mathbb{R}\)
. On pose
\(f_n(x)=\dfrac1{n^3}\ln(1+n^2 x^2 )\)
et
\(S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\)
.
Montrer que
\(S\)
est définie sur
\(\mathbb{R}\)
.
Montrer que
\(S\)
est de classe
\(\mathcal C ^1\)
sur
\(\mathbb{R}\)
.
Montrer que
\(S\)
est deux fois dérivable sur
\(]0,+\infty [\)
.
Exercice
Développement en série de
\(\mathop{\rm cotan}\nolimits\)
, Centrale MP 2011
**
Centrales
MP
21 mars 2024 14:45 — Par Michel Quercia
Soit
\(f: x\mapsto \lim_{n\to \infty }\Bigl(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{k+x}\Bigr)\)
.
Quel est le domaine de définition de
\(f\)
?
Montrer que, pour tout
\(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\)
:
\(f(-x)=-f(x)\)
.
\(f(x+1)=f(x)\)
.
\(f(2x)={1/2}(f(x+{1/2})+f(x))\)
.
Montrer que
\(x\mapsto f(x)-\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\)
admet un prolongement par continuité à
\(\mathbb{R}\)
entier.
Montrer que pour tout
\(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\)
,
\(f(x)=\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\)
.
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