Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions

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Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions

Les exercices

$\bullet$Fonction définie par une série **
$\bullet$Fonction définie par une série **
$\bullet$Fonction \(\Gamma\) **

Exercices dans ce dossier

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:41 — Par Michel Quercia

Établir la convergence simple sur \(\mathbb{R}\) de la série de fonctions : \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac {(\sin x)^2 }{\mathop{\rm ch}\nolimits nx}\).
Montrer que la convergence est uniforme sur toute partie de la forme \(\mathbb{R}\setminus [-\alpha ,\alpha ]\), \(\alpha > 0\). Que pouvez-vous en déduire pour \(f\) ?

Fonction définie par une série **

21 mars 2024 14:41 — Par Michel Quercia

Soit \(u_n(x) = (-1)^n \ln\left(1+\dfrac x{n(1+x)}\right)\) et \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)\).

Montrer que la série \(f(x)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Majorer convenablement le reste de la série, et montrer qu’il y a convergence uniforme sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Y a-t-il convergence normale ?

Fonction \(\Gamma\) **

21 mars 2024 14:41 — Par Michel Quercia

Soit \(f_n(x) = \dfrac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).

Étudier la convergence simple des fonctions \(f_n\).
On note \(f = \lim f_n\). Calculer \(f(x)\) en fonction de \(f(x-1)\) lorsque ces deux quantités existent.
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur son domaine de définition (on calculera \(f_n'(x)/f_n(x)\)).

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