Approximation des fonctions

On définit une suite de fonctions \(f_n:\mathbb{R}^{+*}\to \mathbb{R}^{+*}\) par : \(f_{n+1}(x) = {1/2}(f_n(x) + x/f_n(x))\), \(f_0(x) = x\). Étudier la convergence simple, puis uniforme des \(f_n\). On pourra considérer \(g_n(x)= \dfrac {f_n(x) - \sqrt x}{f_n(x) + \sqrt x}\).

On considère la suite \((f_n)\) de fonctions sur \([0,1]\) définie par les relations : \(f_{n+1}(t) = f_n(t) + {1/2}(t-f_n^2 (t))\), \(f_0 = 0\). Étudier la convergence simple, uniforme, des fonctions \(f_n\).

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a \(\int _{t=a}^b f(t)t^k\,d t = 0\). Que peut-on dire de \(f\) ?

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^1\).

Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur \([0,1]\) et vers la fonction constante égale à 1 sur \([2,3]\).

Remarque : une telle suite a donc des limites distinctes dans \(\mathbb{R}[x]\) pour les normes de la convergence uniforme sur \([0,1]\) et sur \([2,3]\).

On considère \(f:x\mapsto 2x(1-x)\) définie sur \([0,1]\).

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue, ayant même limite finie \(l\) en \(\pm \infty\). Montrer que \(f\) est limite uniforme sur \(\mathbb{R}\) de fractions rationnelles.

On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et pour \(m,n\in \mathbb{N}\) :

\(R_{m,n} = \{ f\in R\text{ tq }\exists P,Q\in \mathbb{R}[X]\text{ tq }\deg(P)\leq m,\ \deg(Q)\leq n\text{ et }f=P/Q\}\).