Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n\) pour \(x\in {[0,1]}\).

On pose \(f_n(x) = x^n (1-x)\) et \(g_n(x) = x^n \sin(\pi x)\).

Soit \(f_n: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,+\infty [ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ ( & \longmapsto & x \end{array} \right. ){\begin{cases} (1- x/n)^n &\text{ si }x \leq n \\ 0 &\text{ si }x > n \end{cases}}.\)

Étudier la convergence simple, uniforme, de la suite de fonctions : \(f_n : x \mapsto (1+x/n)^{-n}\).

Soit \(f_n(x) = \dfrac {nx}{1+n^2 x^2 }\). Étudier la convergence simple, puis uniforme des \(f_n\) sur \(\mathbb{R}_{+}\) puis sur \([\alpha ,+\infty [\), pour \(\alpha > 0\).

Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par : \(f_n(x) = \dfrac{n(n+1)}{x^{n+1}}\int _0^x (x-t)^{n-1}\sin t\,d t\).

Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}\) continue, non identiquement nulle, telle que \(f(0) = 0\) et \(f(x)\to _{x\to +\infty }0\).

On pose \(f_n(x) = f(nx)\) et \(g_n(x) = f(x/n)\).

Soit \(y_n\) la solution de l’équation : \((*_n) \Longleftrightarrow (1+\frac1n)y'' - (2+\frac1n)y' + y = 0\) vérifiant les conditions initiales : \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 1\).

Soit \(f:[-1,1]\to [-1,1]\) une fonction continue vérifiant : \(\forall x \neq 0\), \(|f(x)| < |x|\).

On pose \(f_0(x) = x\), puis \(f_{n+1}(x) = f(f_n(x))\). Étudier la convergence simple des \(f_n\).

On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt {t+f_n(t)}\), pour \(t\geq 0\).

Soit \(p\in \mathbb{N}\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés inférieurs ou égaux à \(p\) convergeant simplement vers \(f\) sur un intervalle \([a,b]\).

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions numériques continues sur \([a,b]\). convergeant simplement vers une fonction continue \(f\).

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions : \([a,b]\to \mathbb{R}\) convergeant simplement vers \(f\). On suppose que toutes les fonctions \(f_n\) sont \(k\)-Lipchitizennes avec le même \(k\).

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur \(D \subset \mathbb{R}\) convergeant uniformément vers une fonction \(f\). Montrer que les fonctions \(f_n\) sont équi-continues c’est à dire : \[\forall x\in D,\ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta > 0 \text{ tq }\forall n\in \mathbb{N},\ \forall y\in {]x-\delta ,x+\delta [}\cap D,\ |f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.\]

Soit \(f_n:[a,b]\to \mathbb{R}\) des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue \(f\). Montrer que la convergence est uniforme.