Exercice
Mines 2016 ** Mines-Ponts
16 mars 2024 17:28
— Par Michel Quercia
Soit \(\varphi (x)=\int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{e^{itx}}{1+t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).
Montrer que \(\varphi\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
Justifier le caractère \(\mathcal C ^1\) de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Montrer que \(\varphi '(x)=\int _{u=0}^{+\infty }\dfrac{iue^{iu}}{x^2 +u^2 }\,d u\).