Autour de la transformée de Laplace

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)\,\mathrm{ \;d}t\) converge.

On pose \(\varphi (a) = \int _{t=0}^{+\infty }e^{-at}f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

Étudier \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{e^{-tx}}{1+t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

Soit \(\alpha >0\).

Étudier la limite en \(0+\) de \(I(x) = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{e^{-t}-\cos t}{t}e^{-xt}\, \mathrm{ \;d}t\).

Soit \(\varphi\) continue par morceaux bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\) à valeurs réelles, et \(F\) définie par \(F(\lambda )=\int _{x=0}^{+\infty }\varphi (x)e^{-\lambda x}\,\mathrm{ \;d}x\). On suppose que \(\varphi\) change \(n\) fois de signe. Montrer que \(F\) change au plus \(n\) fois de signe.