Fonction $\Gamma$ d'Euler

Montrer que \(\Gamma (x+1) \sim x^xe^{-x}\sqrt {2\pi x}\) pour \(x\) réel tendant vers \(+\infty\).

Montrer, pour \(x>1\) : \(\zeta (x)\Gamma (x) = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{t^{x-1}}{e^t-1}\,\mathrm{ \;d}t\).

Soit \(f\) : \(x\mapsto \int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t^{x+1}+t+1}\). Déterminer son domaine de définition ; étudier sa continuité et sa monotonie. Calculer \(\int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t }{t^{x+1}+t}\) et en déduire des équivalents et les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).