Intégration terme à terme

Dans le dossier «Intégration terme à terme»

Intégration terme à terme

Les exercices

$\bullet$Développement en série, Ensam PSI 1998, Mines MP 1999 ** Mines-Ponts PSI
$\bullet$Développement en série, Mines 1999 ** Mines-Ponts
$\bullet$Centrale MP 2001 ** Centrales MP

Exercices dans ce dossier

Développement en série, Ensam PSI 1998, Mines MP 1999 ** Mines-Ponts PSI

16 mars 2024 17:25 — Par Michel Quercia

Soit \(I(\alpha ) = \int _{x=0}^{+\infty } \dfrac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,\mathrm{ \;d}x\).

Justifier l’existence de \(I(\alpha )\).
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que : \(I(\alpha ) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac a{b+n^2 }\).
Donner un équivalent de \(I(\alpha )\) quand \(\alpha \to +\infty\).

Développement en série, Mines 1999 ** Mines-Ponts

16 mars 2024 17:25 — Par Michel Quercia

Soit \(\theta \in {]0,\pi [}\). Montrer que \(\int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{e^{-i\theta }-t} = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\exp(in\theta )}n\).

Centrale MP 2001 ** Centrales MP

16 mars 2024 17:25 — Par Michel Quercia

Développer, pour tout \(x>0\), \(s(x) = \int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\sin t}{e^{xt}-1}\,\mathrm{ \;d}t\) en série de fractions rationnelles.
Montrer qu’en \(0_{+}\), \(s(x)\) est équivalente à \(\dfrac\pi {2x}\).

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