Exercices théoriques

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Exercices théoriques

Les exercices

$\bullet$Théorème de division des fonctions \(\mathcal C ^\infty\) **
$\bullet$Fonction définie par une intégrale **
$\bullet$Fonction définie par une intégrale, X 1999 ** Polytechnique
$\bullet$Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004 ** Centrales MP

Exercices dans ce dossier

Théorème de division des fonctions \(\mathcal C ^\infty\) **

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) et \(g(x) = \dfrac{f(x)-f(0)}x\) si \(x \neq 0\), \(g(0)=f'(0)\).

Vérifier que \(g(x) = \int _{t=0}^1 f'(tx)\,\mathrm{ \;d}t\). En déduire que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\).

Montrer de même que la fonction \(g_k : x\mapsto \dfrac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - \dots- \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)\) se prolonge en une fonction de classe \(\mathcal C ^\infty\) en 0.

Fonction définie par une intégrale **

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue. On définit pour \(x \in \mathbb{R}^*\) et \(y \in \mathbb{R}\) : \(g(x,y) = \dfrac 1x \int _{t=x}^{xy} f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

Montrer que \(g\) peut être prolongée en une fonction continue sur \(\mathbb{R}^2\).
On suppose de plus \(f\) dérivable en 0. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^1\).

Fonction définie par une intégrale, X 1999 ** Polytechnique

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Calculer \(f(a) = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\cos(at)\,\mathrm{ \;d}t\).
Soit \(g(a) = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\dfrac{\sin(at)}t\,\mathrm{ \;d}t\) ; calculer \(\lim_{a\to +\infty } g(a)\).

Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004 ** Centrales MP

16 mars 2024 17:24 — Par Michel Quercia

Soit f continue par morceaux définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(\mathbb{C}\).

Soient \(a,b\in \mathbb{R}\). Montrer que \(\int _{t=a}^b f(t) \cos(nt)\,\mathrm{ \;d}t\to _{n\to \infty }0\).
On suppose que \(f\) est intégrable sur \(]0,+\infty [\). Soit \(u_n= \int _{t=0}^{n\pi } \sin^2 (nt) f(t)\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite quand \(n\to \infty\) et la préciser.

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