Etude de fonctions définies par des intégrales

Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

Vérifier que \(\varphi ''(x) = \dfrac{e^{-x}}x\).

Montrer que \(I\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

Calculer \(I'(x)\) et en déduire \(I(x)\).

Montrer que \(f\) et \(g\) sont dérivables et calculer \(f'\) et \(g'\).

Montrer que \(f(x) + g(x) = \frac\pi 4\) pour tout \(x \in \mathbb{R}_{+}\).

En déduire la valeur de \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

Soit \(I(x) = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\cos(2xt)\,\mathrm{ \;d}t\). Prouver que \(I\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\).

Chercher une relation simple entre \(I\) et \(I'\).

En déduire la valeur de \(I(x)\) (on admet que \(I(0) = \frac{\sqrt \pi }2\)).

Montrer que les intégrales \(F(x)\) et \(G(x)\) convergent absolument pour tout \(x\) réel et que \(F(x) = |x|F(1)\).

Montrer que la fonction \(F-G\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\). En déduire que \(G\) est \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}^*\) et n’est pas dérivable en \(0\).

\(f(x) = \int _{t=-\pi /2}^{\pi /2} |x+t|\sin t\,\mathrm{ \;d}t\).

\(f(x) = \int _{t=x}^{x^2 } \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{\ln t}\).

\(f(x) = \int _{t=x}^{x^2 } \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{\sqrt {t^4+t^2 +1}}\).

\(f(x) = \int _{t=0}^1 \dfrac{e^t\,\mathrm{ \;d}t}{t+x}\).

\(f(x) = \int _{t=0}^{\pi /2} x\exp\Bigl(\dfrac{\sin t}x\Bigr)\mathrm{ \;d}t\).

\(f(x) = \int _{t=0}^x \dfrac{\ln(1+xt)}{1+t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

Domaine de définition, monotonie, convexité de \(f\) (sans dériver \(f\)).

Continuité, dérivabilité, calcul de \(f^{(k)}(x)\).

Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0\) et en \(1\).

Calculer \(f(1/n)\) pour \(n\in \mathbb{N}\), \(n\geq 2\).

Trouver le domaine de définition de \(f\).

Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

Calculer \(f-f'\).

Donner un équivalent simple de \(f'(x)\) pour \(x\to +\infty\).

Montrer que \(f(x) = \dfrac{\sqrt \pi }{2\sqrt x} - \dfrac{\sqrt \pi }{4x\sqrt x} + o\Bigl(\dfrac1{x\sqrt x}\Bigr)\).

Tracer la courbe de \(f\).

Quel est le domaine de définition de \(I\) ?

Étudier la continuité et la dérivabilité de \(I\).

Calculer \(I(a)\).

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^2\) et \(F(x) = \int _{t=a}^b f(t)e^{-itx}\,\mathrm{ \;d}t\) avec \(a<0<b\). Montrer que \(F(x)\to _{x\to +\infty }0\).

Montrer que \(F(x) = \dfrac{f(a)e^{-iax} - f(b)e^{-ibx}}{ix} + o(1/x)\).

Montrer la convergence de l’intégrale \(I=\int _{t=-\infty }^{+\infty }e^{-it^2 /2}\,\mathrm{ \;d}t\).

Soit \(g(x) = \int _{t=a}^bf(t)e^{-ixt^2 /2}\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \(g(x) = \dfrac{I.f(0)}{\sqrt x} + o\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)\).

Montrer que \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\). Donner \(f'(0)\) et \(g'(0)\).

Montrer que \(f\) admet en \(+\infty\) une limite \(l\) finie. On admettra dans la suite que \(l =\pi /2\).

Montrer que \(g(x)\to _{x\to +\infty }\infty\).

Montrer qu’il existe une suite \((a_n)\) de réels positifs telle que pour tout \(n\), \(f(a_n)=\dfrac1{n+1}\). Déterminer la monotonie de \((a_n)\) et trouver un équivalent de \(a_n\) lorsque \(n\to \infty\).

Montrer qu’il existe une suite \((b_n)\) de réels positifs telle que \(b_{0} =0\) et \(\int _{t=b_n}^{b_{n+1}}\dfrac{1-\cos t}{t}\,\mathrm{ \;d}t = \dfrac1{n+1}\).