Divers

Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal C ^0 (\mathbb{R},\mathbb{R})\) telles que : \(\forall x\in \mathbb{R},\ f(x) + \int _0^x (x-t)f(t)\,\mathrm{ \;d}t = 1\).

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}_{+}\) continue atteignant son maximum en un unique point \(c \in {]a,b[}\).

Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}_{+}\) continue telle que \(f(x)\int _{t=0}^x f^2 (t)\,\mathrm{ \;d}t \to _{x\to +\infty } l \neq 0\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

Soient \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continues et \(a,b \in \mathbb{R}\). On pose \(\varphi (x) = \int _{t=a}^b f(t)g(x-t)\,\mathrm{ \;d}t\).

Soient \(f,g\in \mathcal C ([0,+\infty [,\mathbb{R})\). On pose \(h(x) = \int _{t=0}^x f(x-t)g(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) de degré \(n\geq 1\). Le but de cet exercice est de prouver que \(P\) admet une racine dans \(\mathbb{C}\). On suppose au contraire que \(P\) ne s’annule pas et on considère pour \(r \geq 0\), \(\theta \in {[0,2\pi ]}\) : \(f(r,\theta ) = \dfrac{r^n e^{in\theta }}{P(re^{i\theta })}\) et \(F(r) = \int _{\theta =0}^{2\pi } f(r,\theta )\,\mathrm{ \;d}\theta\).