Suites définies par une intégrale

Dans le dossier «Suites définies par une intégrale»

Suites définies par une intégrale

Les exercices

$\bullet$\(t^n f(t)\) **
$\bullet$\(t^n f(t)\) **
$\bullet$\(f(t^n )\) **
$\bullet$\(f(t^n )\) **
$\bullet$\(f(t^n )\) **
$\bullet$\(f(t^n )\) **
$\bullet$Calcul de limite **
$\bullet$Calcul de limite **
$\bullet$\((1-x/n)^n\), Ensi PSI 1998 ** PSI
$\bullet$\(\tan^n t\), Ensi Physique P 94 **
$\bullet$Calcul de limite, École de l’Air 94 **
$\bullet$Ensae MP\(^*\) 2000 ** MP
$\bullet$Suite d’intégrales, Centrale MP 2004 ** Centrales MP

Exercices dans ce dossier

\(t^n f(t)\) **

16 mars 2024 17:11 — Par Michel Quercia

Soit \(I_n = \int _{t=0}^1 t^n \ln(1+t^2 )\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \(I_n \to _{n\to \infty } 0\).

\(t^n f(t)\) **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(\int _{t=0}^1 t^n f(t)\,\mathrm{ \;d}t = \dfrac{f(1)}n + o(\frac1n)\).

\(f(t^n )\) **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(\int _{t=0}^1 f(t^n )\,\mathrm{ \;d}t \to _{n\to \infty } f(0)\).
Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^n \,\mathrm{ \;d}t}{1+t^n }\).
Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(-1 + \int _{t=0}^1 \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).

\(f(t^n )\) **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to \infty\) de \(I_n = \int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1+t^n }\).

\(f(t^n )\) **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to \infty\) de \(I_n = \int _{t=0}^1 \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).

\(f(t^n )\) **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(\int _{t=1}^{1+1/n} \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).

Calcul de limite **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Déterminer \(\lim_{n\to \infty } \int _{x=0}^{\pi /2} \dfrac{\sin^n x}{x+2}\,\mathrm{ \;d}x\).

Calcul de limite **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Déterminer \(\lim_{n\to \infty }\int _{t=0}^1 nf(t)e^{-nt}\,\mathrm{ \;d}t\).

\((1-x/n)^n\), Ensi PSI 1998 ** PSI

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Soit \(x\in {[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \leq e^{-x}\). En déduire \(\lim_{n\to \infty } \int _{x=0}^n (1-x/n)^n \,\mathrm{ \;d}x\).

\(\tan^n t\), Ensi Physique P 94 **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

On pose \(I_n = \int _0^{\pi /4} \tan^n t\,\mathrm{ \;d}t\).

Montrer que \(I_n \to _{n\to \infty } 0\).
Calculer \(I_n\) en fonction de \(n\).
Que peut-on en déduire ?

Calcul de limite, École de l’Air 94 **

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Chercher \(\lim_{n\to \infty } \int _0^1 \dfrac{t^n -t^{2n}}{1-t}\,\mathrm{ \;d}t\).

Ensae MP\(^*\) 2000 ** MP

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). Trouver la limite de \(u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{\sin (k\alpha )}{n+k}\).

Suite d’intégrales, Centrale MP 2004 ** Centrales MP

16 mars 2024 17:12 — Par Michel Quercia

Soit \((f_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) une suite de fonctions définie par : \(\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall x\in {[0,1]},\ f_n(x) = \Bigl(\dfrac{x+x^n }2\Bigr)^n\).

Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers une fonction \(\varphi\).
\(\,\)
1. La convergence est-elle uniforme ?
2. La convergence est-elle monotone ?
Soit, pour \(n\in \mathbb{N}^*\), \(J_n = \int _{x=0}^1 f_n(x)\,\mathrm{ \;d}x\). Montrer que \(J_n\sim \dfrac2{n^2 }\).

;

Success message!